Polynomické funkcie

Polynomická funkcia (polynóm, mnohočlen) je funkcia definovaná v množine ${\bf R}$ rovnicou

$$P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$

kde reálne čísla $a_0,\ a_1,\ \cdots,a_n$, $a_n \neq 0$ sa volajú koeficienty polynómu a celé nezáporné číslo $n$ sa volá stupeň polynómu. Koeficient $a_n$ sa volá vedúci koeficient mnohočlena
Každý mnohočlen $P$ je možné jednoznačne vyjadriť v tvare súčinu koreňových činiteľov, t.j. súčinu

1. vedúceho koeficientu
2. všetkých výrazov typu $(x-r)^k$, kde $r$ je $k$-násobným koreňom mnohočlena $P$
3. všetkých výrazov typu $(x^2 + px + q)^l$ vytvorených $l$-násobnými komplexne združenými komplexnými koreňmi mnohočlena $P$.

Príklad 12. Rozložíme mnohočlen $P(x) = x^4 - 1$ na súčin.

Riešenie:

$$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1).$$

Výraz v poslednej zátvorke sa už nedá ďalej rozložiť. $\clubsuit$

Vo všeobecnosti sú vlastnosti polynomických funkcií ťažko popísateľné, najčastejšie sa však stretneme s nasledujúcimi špeciálnymi prípadmi polynómov: