Inverzná funkcia a grafy

Grafy navzájom inverzných funkcií sú súmerné podľa priamky s rovnicou $y=x$.

Pre inverznú funkciu k zloženej funkcii platí pravidlo

$$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1},$$

ak existuje funkcia na ľubovoľnej zo strán rovnice.
Inverzná funkcia k inverznej funkcii sa rovná pôvodnej funkcii

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

Poznamenajme, že nie každá funkcia má inverznú funkciu. (Pozri časť 6.3.1.)
Keďže inverzná funkcia k funkcii $f:\ y=f(x)$ (ak existuje) vyjadruje závislosť veličiny $x$ od veličiny $y$, inverznú funkciu hľadáme tak, že z rovnice určujúcej funkciu $f$ vyjadríme $x$ pomocou $y$: $x = f^{-1}(y)$. Tento výraz sa z dôvodov konvencie zvykne potom prepísať na výraz $y = f^{-1}(x)$ určujúci tú istú funkciu.

Príklad 6. Hľadajme inverzné funkcie k funkciám $f:\ y = 7-3x$, $g:\ y = \frac{1-4x}{3x+2}$, $h:\ y = 1 - x^2$ a $i:\ y = \sqrt[3]{9x+11}$.

Riešenie: Vyjadrením $x$ z rovnice určujúcej funkciu $f$ dostávame $f^{-1}(y) = \frac{7-y}{3}$.
Podobne $g^{-1}(t) = \frac{1-2t}{3t+4}$. Prečo môžeme písať nezávislú premennú $t$ a nie $x$ alebo $y$?
Ak vyjadríme $x$ z rovnice určujúcej funkciu $h$, dostaneme $x=\sqrt{1-y}$ alebo $x=-\sqrt{1-y}$. Vidíme, že $D(h)={\bf R}$, ale $H(\sqrt{1-y})=\langle 0, \infty)$ a $H(-\sqrt{1-y})=(\infty,0\rangle$. Funkcia $h$ teda nemá inverznú funkciu, ale $h_1:\ x = \sqrt{1-y}$ je inverzná k funkcii $h_{/\langle 0, \infty)}$ a $h_2:\ x = -\sqrt{1-y}$ je inverzná k funkcii $h_{/(-\infty,0\rangle}$.
Vyjadrením $x$ z rovnice pre $i$ dostávame $i^{-1}(x)=\frac{x^3-11}{9}$. $\clubsuit$