Všeobecné sústavy

Uvažujme konečne o všeobecnej sústave $m$ lineárnych rovníc s $n$ neznámymi
$\displaystyle a_{11}x_1 +$ $\textstyle \ldots \hspace{3mm} + a_{1n}x_n =$ $\displaystyle b_1$  
$\displaystyle a_{21}x_1 +$ $\textstyle \ldots \hspace{3mm} + a_{2n}x_n =$ $\displaystyle b_2$  
$\displaystyle \vdots$ $\textstyle \vdots \ \ \ $ $\displaystyle \vdots$ (4.7)
$\displaystyle a_{m1}x_1 +$ $\textstyle \ldots \hspace{3mm} + a_{mn}x_n =$ $\displaystyle b_m$  

zapísanej pre vhodne definovanú maticu A, vektory x,b aj v tvare $ {\bf Ax = b }$. Vieme, že nutná a postačujúca podmienka pre to, aby sústava (4.7) mala riešenie, je $ h({\bf A})=h({\bf A\vert b})$. Nech sústava (4.7) má riešenie. Ak $h({\bf A})=n$, tak (4.7) má jediné riešenie. Ak $ h({\bf A})<n $, tak (4.7) má nekonečne veľa riešení. Tieto tvrdenia spolu s postupom použitým pri GEM (a pri zisťovaní hodnosti matice) a spôsobom riešenia homogénnej sústavy rovníc využívame pri riešení (4.7).

$\bullet$ Prípad $h({\bf A})=h({\bf A\vert b})=n$.

Príklad 15. Zistite, či sústava rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & -5 ...
... & 10 \\
2x_1 & + & 5x_2 & - & 7x_3 & = & -9 \\
\end{array}\end{displaymath}

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Známym spôsobom dospejeme ku ekvivalentnej sústave

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrr}
x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & -5...
...3 & = & 1 & \\
& & & - & 134x_3 & = & 35 & . \\
\end{array}\end{displaymath}

Vidno, že $h({\bf A})=h({\bf A\vert b})=3$, a preto existuje jediné riešenie tejto sústavy. Spätná substitúcia len potvrdzuje toto tvrdenie. Preto ${\bf r =}$ ${(77/134,-321/134,-35/134)^T}$.

$\clubsuit$

$\bullet$ Prípad $h({\bf A}) \neq h({\bf A\vert b})$.

Príklad 16. Zistite, či sústava rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ ...
...& = & 1 \\
2x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 0 \\
\end{array}\end{displaymath}

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Ihneď dostávame

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrr}
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 & ...
... & & & = & 0 & \\
& - & x_2 & & & = & -2 & . \\
\end{array}\end{displaymath}

Potom $h({\bf A}) = 2$, $h({\bf A\vert b}) = 3$, a preto sústava nemá riešenie. Nemuseli sme použiť Frobeniusovu vetu. Z ekvivalentnej sústavy vidno, že je sporná. Nemôže súčasne platiť $-x_2=0$ a $-x_2=-2$. $\clubsuit$

$\bullet$ Prípad $h({\bf A}) = h({\bf A\vert b}) \equiv
p < n $.
V tomto prípade má sústava $ {\bf Ax = b }$ nekonečne veľa riešení. Všetky riešenia sú tvaru

\begin{displaymath}
\bf r = \bf w + \sum _{i=1}^{n-p} \alpha_i \bf w^{(\it i)} ,
\end{displaymath}

kde
*
w je nejaké riešenie sústavy Ax=b
*
${\bf w^{(\it i)}}$ sú lineárne nezávislé riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy rovníc Ax=0 , pre $i=1 , \ldots , n-p$
*
$ \alpha_i \in {\bf R}$ pre $i=1 , \ldots , n-p$.
Často sa hovorí, že riešenie r je v tvare súčtu partikulárneho (nejakého) riešenia sústavy Ax=b a všeobecného riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy Ax=0. Pri troche zručnosti sa tieto dve úlohy dajú riešiť spoločne.

Príklad 17. Zistite, či sústava lineárnych rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrrr}
2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & + & 3...
... 3x_1 & + & 3x_2 & + & 3x_3 & - & 3x_4 & = & 6 \\
\end{array}\end{displaymath}

má riešenie a ak áno, určte ho.

Riešenie: Známym spôsobom dospejeme ku ekvivalentnej sústave

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & - & x_...
...\
& - & x_2 & - & 4x_3 & + & 5x_4 & = & 0 &. \\
\end{array}\end{displaymath}

Vidno, že $h({\bf A}) = h({\bf A\vert b}) = 2 = p $. Teda sústava má nekonečne veľa riešení.

V časti o homogénnych sústavach sme zistili, že dve lineárne nezávislé riešenia odpovedajúcej homogénnej sústavy lineárnych rovníc sú $ {\bf w^{(\it 1)}}=(3,-4,1,0)^T $ a $ {\bf w^{(\it 2)}}=(-4,5,0,1)^T $. Za parametre sme pritom zvolili neznáme $x_3$ a $x_4$ .

Nejaké (partikulárne) riešenie Ax=b dostaneme z ekvivalentnej sústavy

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrr}
x_1 & + & x_2 & =& 2 & -s & + & t \\
& - & x_2 & = & & 4s &- & 5t \\
\end{array}\end{displaymath}

najjednoduchšie tak, že v nej zvolíme za parametre $s = t =
0$. Dostávame sústavu

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrrr}
x_1 & + & x_2 & = & 2 &\\
& - & x_2 & = & 0 & . \\
\end{array}\end{displaymath}

Potom už $ {\bf w}=(2,0,0,0)^T$. Teda všeobecné riešenie sústavy rovníc je tvaru

\begin{displaymath}
(2,0,0,0)^T + \alpha _1(3,-4,1,0)^T + \alpha _2(-4,5,0,1)^T,
\end{displaymath}

kde $ \alpha_1 ,\, \alpha_2 \in {\bf R}$. Všimnite si, že za partikulárne riešenie sústavy Ax=b sme mohli zvoliť aj vektor $(1,1,1,1,)^T$. Potom by bolo všeobecné riešenie tvaru

\begin{displaymath}
(1,1,1,1)^T + \beta _1(3,-4,1,0)^T + \beta _2(-4,5,0,1)^T.
\end{displaymath}

Dosadením sa dá zistiť, že $(-3,6,1,2)^T$ je tiež riešením sústavy. Môžeme ho vyjadriť ako

\begin{displaymath}
(2,0,0,0)^T + 1(3,-4,1,0)^T + 2(-4,5,0,1)^T,
\end{displaymath}

ale aj

\begin{displaymath}
(1,1,1,1)^T + 0(3,-4,1,0)^T + 1(-4,5,0,1)^T.
\end{displaymath}

$\clubsuit$



Subsections