Diferenciál a diferenciály vyšších rádov

Pri aplikáciách matematiky je často potrebné pracovať s hodnotami komplikovaných funkcií. Je možné nahradiť ich hodnotami jednoduchších funkcií, ak sú tieto v rámci požadovanej presnosti. Často sa k tomu používajú lineárne funkcie, keďže sú na výpočty najjednoduchšie.
Nech má funkcia $f$ v bode $a$ deriváciu. Potom hodnoty funkcie $f$ v blízkom okolí čísla $a$ najlepšie zo všetkých lineárnych funkcií aproximuje (približne vyjadruje) funkcia $y = f(a) + f'(a)(x-a).$ Preto

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$$

pre čísla $x$ blízke číslu $a$. Lineárny výraz

$$df(a,x) = f'(a)(x-a)$$

v tejto aproximácii voláme diferenciál funkcie $f$ v bode $a$. Všeobecne diferenciál n-tého rádu funkcie $f$ v bode $a$ je výraz

$$d^n f(a,x) = f^{(n)}(a)(x-a)^n,$$

ak existuje $n-$ tá derivácia funkcie $f$ v bode $a$.
Špeciálne, pre $n = 0$, diferenciálom nultého rádu je konštantna $f(a)$.

Príklad 22. Nájdeme prvých päť diferenciálov funkcie $f:\ y = \cos x$ v bode $0$.

Riešenie: K nájdeniu diferenciálu potrebujeme príslušnú deriváciu v danom bode. Keďže $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$, $y''(0) = -1$, $y'''(0) = 0$, $y^{(4)}(0) = 1$, $y^{(5)}(0) = 0$, platí

$$d^0 f(0,x) = 1,\quad d^2 f(0,x) = -x^2,\quad d^4 f(0,x) = x^4.$$

Ostatné hľadané diferenciály sú rovné nulovej konštante. $\clubsuit$

Pre použitie pojmu diferenciálu pozri časť 7.8.