Približné výpočty hodnôt funkcií

Ak máme približne vypočítať hodnotu funkcie $f$ v bode $x$, ktorú nie sme z nejakého dôvodu schopní vypočítať presne, postupujeme nasledovne.

1. Nájdeme taký bod $a$ čo najbližšie k bodu $x$, v ktorom sme schopní vypočítať hodnotu funkcie $f$ a jej derivácií.
2. Použijeme vzťah $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.
3. Ak nie sme spokojní s presnosťou aproximácie, použijeme vzťah $f(x) \approx T_n(f,a,x)$ pre vhodné prirodzené číslo $n>1$.

Príklad 25. Vypočítajme pomocou prvého diferenciálu približne hodnotu $\sqrt{80}$.

Riešenie: Ide o výpočet hodnoty $f(80)$ pre funkciu $f:\ y = \sqrt{x}$. Keďže

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a),$$

potrebujeme nájsť vhodnú hodnotu $a$ blízko hodnoty $80$, v ktorej vieme vypočítať obidve hodnoty $f(a)$ aj $f'(a)$. Keďže $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, vhodnou hodnotou je $a = 81$. Platí $f(81) = 9$ a $f'(81) = \frac{1}{18}$. Preto

$$\sqrt{80} \approx 9 + \frac{1}{18}(80 - 81) = 9 - \frac{1}{18} = \frac{161}{18} \approx 8,94.$$

$\clubsuit$

Príklad 26. Vypočítajme s presnosťou na tri desatinné miesta hodnotu čísla $e$.

Riešenie: Použijeme Taylorov mnohočlen funkcie $f:\ y = e^x$ v bode $0$. Platí

$$T_n (f,0,x) = \sum_{k=1}^n \frac{f^{k}(0)}{k!}(x-0)^k = \sum_{i=0}^n \frac{x^k}{k!}.$$

Keďže $e = e^1$, je

$$e \approx T_n(f,0,1) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.$$

Potrebnú hodnotu $n$ určíme z požiadavky, aby chyba výpočtu bola menšia ako $5.10^{-4} = 0,0005$ (tri desatinné miesta!). Z Taylorovej vety vyplýva, že chyba výpočtu sa rovná hodnote $\frac{f^{(n+1)}(r)}{(n+1)!}1^{n+1} = \frac{e^r}{(n+1)!}$, kde $r \in (0,1)$. Preto číslo $n$, pre ktoré bude výpočet zaručene v rámci danej presnosti je určené nerovnicou

$$\frac{e^r}{(n+1)!} < \frac{e}{(n+1)!} < 0,0005,$$

teda $(n+1)! > 2000e \approx 5436$. Najmenšie prirodzené číslo $n$, ktoré spĺňa túto nerovnosť, nájdeme pomocou výpočtu faktoriálov: $7! = 5040,\ 8! > 40000$. Z toho vyplýva, že $n = 7$. Preto

$$e \approx T_7(f,0,1) = \sum_{k=0}^7 \frac{1}{k!} = 2,718.$$

Porovnajte túto hodnotu výpočtom kalkulačkou! Poznamenajme, že rovnakú hodnotu dostaneme aj voľbou $n = 6$. $\clubsuit$