Približné výpočty hodnôt funkcií

Ak máme približne vypočítať hodnotu funkcie $f$ v bode $x$, ktorú nie sme z nejakého dôvodu schopní vypočítať presne, postupujeme nasledovne.
  1. Nájdeme taký bod $a$ čo najbližšie k bodu $x$, v ktorom sme schopní vypočítať hodnotu funkcie $f$ a jej derivácií.
  2. Použijeme vzťah $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.
  3. Ak nie sme spokojní s presnosťou aproximácie, použijeme vzťah $f(x) \approx T_n(f,a,x)$ pre vhodné prirodzené číslo $ n>1$.

Príklad 25. Vypočítajme pomocou prvého diferenciálu približne hodnotu $\sqrt{80}$.

Riešenie: Ide o výpočet hodnoty $f(80)$ pre funkciu $f:\ y = \sqrt{x}$. Keďže

\begin{displaymath}
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a),
\end{displaymath}

potrebujeme nájsť vhodnú hodnotu $a$ blízko hodnoty $80$, v ktorej vieme vypočítať obidve hodnoty $f(a)$ aj $f'(a)$. Keďže $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, vhodnou hodnotou je $a = 81$. Platí $f(81) = 9$ a $f'(81) = \frac{1}{18}$. Preto


\begin{displaymath}
\sqrt{80} \approx 9 + \frac{1}{18}(80 - 81) =
9 - \frac{1}{18} = \frac{161}{18} \approx 8,94.
\end{displaymath}

$\clubsuit$

Príklad 26. Vypočítajme s presnosťou na tri desatinné miesta hodnotu čísla $e$.

Riešenie: Použijeme Taylorov mnohočlen funkcie $f:\ y = e^x$ v bode $0$. Platí

\begin{displaymath}
T_n (f,0,x) = \sum_{k=1}^n \frac{f^{k}(0)}{k!}(x-0)^k =
\sum_{i=0}^n \frac{x^k}{k!}.
\end{displaymath}

Keďže $e = e^1$, je

\begin{displaymath}
e \approx T_n(f,0,1) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.
\end{displaymath}

Potrebnú hodnotu $n$ určíme z požiadavky, aby chyba výpočtu bola menšia ako $5.10^{-4} = 0,0005$ (tri desatinné miesta!). Z Taylorovej vety vyplýva, že chyba výpočtu sa rovná hodnote $\frac{f^{(n+1)}(r)}{(n+1)!}1^{n+1} = \frac{e^r}{(n+1)!}$, kde $r \in (0,1)$. Preto číslo $n$, pre ktoré bude výpočet zaručene v rámci danej presnosti je určené nerovnicou

\begin{displaymath}
\frac{e^r}{(n+1)!} < \frac{e}{(n+1)!} < 0,0005,
\end{displaymath}

teda $(n+1)! > 2000e \approx 5436$. Najmenšie prirodzené číslo $n$, ktoré spĺňa túto nerovnosť, nájdeme pomocou výpočtu faktoriálov: $7! = 5040,\ 8! > 40000$. Z toho vyplýva, že $n = 7$. Preto

\begin{displaymath}
e \approx T_7(f,0,1) = \sum_{k=0}^7 \frac{1}{k!} = 2,718.
\end{displaymath}

Porovnajte túto hodnotu výpočtom kalkulačkou! Poznamenajme, že rovnakú hodnotu dostaneme aj voľbou $n = 6$. $\clubsuit$