Taylorova veta

Nech funkcia $f$ má v bode $a$ všetky derivácie až do rádu $n$. Potom mnohočlen premennej $x$

$$T_n(f,a,x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n =$$

$$= \sum_{k=0}^n \frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k = \sum_{k=0}^n \frac{d^k f(a,x)}{k!}$$

voláme Taylorov mnohočlen (polynóm) funkcie $f$ v bode $a$.
Taylorova veta vyjadruje fakt, že spomedzi všetkých mnohočlenov stupňa menšieho alebo rovného $n$ práve mnohočlen $T_n(f,a,x)$ najlepšie aproximuje hodnoty funkcie $f$ v blízkom okolí bodu $a$.
Taylorova veta.
Nech funkcia $f$ má v intervale $\langle a,b\rangle$ spojité derivácie $f',\ f'',\ \dots,\ f^{(n)}$ a deriváciu $f^{(n+1)}$ v intervale $(a,b)$. Potom pre každé $x \in \langle a,b \rangle$ existuje také číslo $r \in (a,x)$, že platí

$$f(x) = T_n(f,a,x) + \frac{f^{(n+1)}(r)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

Všimnime si:

• Pre hodnoty $x$ blízke číslu $a$ je posledný člen (zvyšok) blízky $0$ a preto
  
  $$f(x) \approx T_n(f,a,x)$$
  
  
  pre $x$ z blízkeho okolia čísla $a$.
  
• V prípade $n = 0$ sa Taylorova veta zhoduje s Lagrangeovou vetou o strednej hodnote.

Príklad 23. Nájdeme Taylorove mnohočleny stupňa $4$ v bode $0$ pre funkcie $y = \cos x$ a $y=e^x$.

Riešenie: Potrebujeme nájsť diferenciály do rádu $4$ funkcie. Preto (pozri Príklad 22)

$$T_4(\cos x,0,x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$$

a podobne

$$T_4(e^x,0,x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}.$$

$\clubsuit$

Príklad 24. Nájdeme Taylorov mnohočlen štvrtého stupňa v bode $-1$ pre funkciu $f:\ y = x^4 - 5x^3 + 2x - 3$.

Riešenie: Potrebujeme nájsť diferenciály funkcie v bode $-1$ do rádu $3$. Platí

$$\begin{array}{rcl} y = x^4 - 5x^3 + 2x - 3, & y(-1) = 1, & ... ...y^{(4)}(-1) = 24, & d f^{(4)}(0,x) = 24(x+1)^4.\\ \end{array}$$

Preto

$$T_3(f,-1,x) = 1 - 17(x+1) + \frac{42}{2}(x+1)^2 - \frac{54}{6}(x+1)^3 + \frac{24}{24}(x+1)^4 =$$

$$1 - 17(x+1) + 21(x+1)^2 - 9(x+1)^3 + (x+1)^4.$$

$\clubsuit$

Presvedčte sa, že v poslednom príklade platí $T_3(f,-1,x) = f(x)$. Všeobecne platí, že

Ak $P_n$ je mnohočlen stupňa $n$, tak $T_n(P_n,a,x) = P_n(x)$ pre všetky $a\in {\bf R}$.

Pre použitie Taylorovho mnohočlenu pozri časť 7.8.