Veta o strednej hodnote

Existuje viac viet o strednej hodnote, ktoré sa tiež volajú vety o prírastku funkcie. Tieto vety vyjadrujú za istých podmienok vzťah medzi rozdielom ("prírastkom") hodnôt funkcie v dvoch bodoch a deriváciou funkcie v istom čísle medzi týmito bodmi.
Lagrangeova veta o strednej hodnote.
Nech $f$ má deriváciu v intervale $(a,b)$ a naviac je spojitá v bodoch $a$ a $b$. Potom existuje také číslo $r$ z intervalu $(a,b)$, že

$$f(b) - f(a) = f'(r)(b-a).$$

Ak medzi predpoklady Lagrangeovej vety doplníme podmienku $f(a) = f(b)$, tak dostaneme Rolleho vetu, ktorá zaručuje existenciu takého čísla $r$ z intervalu $(a,b)$, že

$$f'(r) = 0.$$

Vety o strednej hodnote majú veľký teoretický význam, ich dôsledkom je veľa poznatkov v diferenciálnom počte a jeho aplikáciách (pozri časť 7.10).
Názorný fyzikálny zmysel viet o strednej hodnote môže byť napríklad vyjadrený v nasledujúcom tvrdení

Ak auto prejde za $2$ hodiny $100$ km, tak aspoň v jednom okamihu cesty dosiahne rýchlosť presne $50$ km za hodinu.

Príklad 20. Ukážeme, že pre ľubovoľné dve reálne čísla $a<b$ platí $arctg\ b - arctg\ a < b - a$.

Riešenie: Môžu nastať tri prípady:

• Nech $0\leq a<b$. Potom podľa Lagrangeovej vety pre niektoré číslo $c \in (a,b)$ platí
  
  $$arctg\ b - arctg\ a = (arctg\ x)'_{[x = c]}.(b - a) = \frac{1}{1+c^2}.(b-a) < b - a.$$
  
  

• Keďže funkcia $\mbox{arctg}\,x$ je nepárna, nerovnosť platí aj v prípade, ak $a<b\leq 0$
• Ak $a<0<b$, tak podľa predošlých dvoch častí existujú $c\in (a,0)$ a $d\in (0,b)$ také, že $\mbox{arctg}\,0-\mbox{arctg}\,a = \frac 1{1+c^2}(0-a)$ a $\mbox{arctg}\,b-\mbox{arctg}\,0 = \frac 1{1+d^2}(b-0)$. Po sčítaní dostávame
  
  $$\mbox{arctg}\,b - \mbox{arctg}\,a = \frac 1{1+d^2}b - \frac 1{1+c^2}a < b-a,$$
  
  
  lebo $b$ je kladné, $a$ záporné a výrazy $\frac 1{1+d^2}$ a $\frac 1{1+c^2}$ sú menšie ako 1. $\clubsuit$
  

Príklad 21. Dokážeme, že ľubovoľná algebrická rovnica tretieho stupňa má najviac tri reálne riešenia.

Riešenie: Tvrdenie dokážeme sporom. Predpokladajme, že existuje rovnica tretieho stupňa $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, ktorá má štyri riešenia $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$. Podľa Rolleho vety existuje medzi každou susednou dvojicou z nich číslo, v ktorom je derivácia funkcie $P$ rovná nule. Avšak derivácia funkcie $P$ je kvadratická funkcia $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ a tá nemôže mať tri rôzne nulové hodnoty. Toto je spor, ktorý dokazuje pravdivosť tvrdenia.
$\clubsuit$

Poznamenajme, že pomocou matematickej indukcie sa dá analogickými argumentami ukázať všeobecné tvrdenie

Ľubovoľná algebrická rovnica stupňa $n$ má najviac $n$ reálnych riešení.