Fyzikálny význam derivácie

Ak je stav fyzikálnej veličiny v závislosti od času určený funkciou $y = f(t)$, tak rýchlosť zmeny tejto veličiny je určená funkciou $y = f'(t)$.
Preto, ak sa teleso pohybuje priamočiaro v smere $x$-ovej osi a jeho poloha v čase $t$ je $x(t)$, tak funkcia

$$v(t) = x'(t)$$

určuje jeho rýchlosť a funkcia

$$a(t) = x''(t) = v'(t)$$

určuje jeho zrýchlenie v čase $t$.

Príklad 19. Do balóna guľového tvaru pripevneného spodným okrajom k zemi prúdi rovnomerne $200$ l vzduchu za minútu. Akou rýchlosťou sa pohybuje smerom nahor vrchný okraj balóna v okamihu, keď sú v balóne $3\ m^3$ vzduchu?

Riešenie: Označme $V(t)$ objem balóna v $m^3$ a $v(t)$ jeho výšku, teda priemer v $m$ v čase $t$. Potrebujeme zistiť veličinu $v'(t)$ v čase, keď $V(t) = 3$. Podľa reťazového pravidla platí

$$v'(t) = \frac{dv}{dV}.\frac{dV}{dt}.$$

Veličina $\frac{dV}{dt}$ je rýchlosť prúdenia vzduchu a rovná sa $0,2\ m^3/min$. Veličinu $\frac{dv}{dV}$ vyjadríme zo vzťahu pre objem gule $V = \frac16 \pi v^3$. Preto

$$\frac{dv}{dV} = \frac13 \sqrt[3]{\frac{6}{\pi V^2}}$$

a

$$\frac{dv}{dV}_{[V = 3]} = \frac13 \sqrt[3]{\frac{6}{\pi 3^2}} = \sqrt[3]{\frac{2}{81\pi}}.$$

Dosadením dostávame hľadanú rýchlosť

$$v'(t) = \sqrt[3]{\frac{2}{81\pi}}.0,2\ m/min,$$

čo je približne $4\ cm/min$. $\clubsuit$