Hyperbolické funkcie

Hyperbolický sínus je funkcia

$$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}.$$

Je to nepárna rastúca neohraničená funkcia.

Obrázok: Graf funkcie $y=\sinh(x)$

Hyperbolický kosínus je funkcia

$$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}.$$

Je to zdola ohraničená párna funkcia.

Obrázok: Graf funkcie $y=\cosh(x)$

Hyperbolický tangens je funkcia

$$\mbox{tgh}\,x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$$

Je to nepárna rastúca ohraničená funkcia.

Obrázok: Graf funkcie $y=\mbox{tgh}\,(x)$

Hyperbolický kotangens je funkcia

$$\mbox{cotgh}\,x = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}.$$

Táto funkcia nie je definovaná v bode $0$. Je nepárna neohraničená, klesajúca v intervaloch $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$.

Obrázok: Graf funkcie $y=\mbox{cotgh}\,(x)$

Hyperbolické funkcie nie sú periodické.

Príklad 15. Ukážeme spomínané vlastnosti hyperbolického tangensu.

Riešenie: $\mbox{tgh}\,(-x) = \frac{e^{-x}-e^x}{e^x+e^{-x}} = -\mbox{tgh}\,x$, preto je to funkcia nepárna.
Funkcia $\mbox{tgh}\,$ je rastúca, ak pre ľubovoľné $r < s$ platí $\mbox{tgh}\,r - \mbox{tgh}\,s < 0$. Nech teda $r < s$. Počítajme

$$\mbox{tgh}\,r - \mbox{tgh}\,s = \frac{e^r-e^{-r}}{e^r+e^{-r}} - \frac{e^s-e^{-s}}{e^s+e^{-s}} =$$

$$\frac{e^{r+s}-e^{s-r}+e^{r-s}-e^{-r-s}-e^{r+s}+e^{r-s} -e^{s-r}+e^{-r-s}}{(e^r+e^{-r})(e^s+e^{-s})} =$$

$$\frac{2e^{r-s}-2e^{-(r-s)}}{(e^r+e^{-r})(e^s+e^{-s})}.$$

Menovateľ posledného zlomku je kladné číslo a čitateľ (pretože $r - s < 0$, odôvodnite!) je záporný, celý zlomok je teda záporný a $\mbox{tgh}\,$ je rastúca funkcia.
Pretože $e^{-x} > 0$, platí $e^x - e^{-x} < e^x + e^{-x}$, teda $\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \mbox{tgh}\,x < 1$. Podobne sa dá ukázať, že $-1 < \mbox{tgh}\,x$ a preto $\mbox{tgh}\,$ je ohraničená funkcia. $\clubsuit$