Zložená funkcia

Ak veličina $z$ je funkčne závislá od veličiny $y$ a táto je funkčne závislá od veličiny $x$, tak veličina $z$ je funkčne závislá (sprostredkovane cez veličinu $y$) od veličiny $x$ .
Nech $f$ a $g$ sú funkcie, pre ktoré $M = H(f) \cap D(g) \neq \emptyset$. Funkcia zložená z funkcií $f$ a $g$ (v tomto poradí) je funkcia $g \circ f$ definovaná na množine $M$ vzťahom $g \circ f(r) = g(f(r))$ pre každé $r\in M$. Funkcia $f$ sa volá vnútorná zložka, funkcia $g$ sa volá vonkajšia zložka.

Príklad 3. Nech $f:\ y = \sin x$ a $g:\ y = \sqrt{x}$. Nájdime funkcie $f \circ g$ a $g \circ f$.

Riešenie: Podľa definície $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin{\sqrt{x}}$. Definičným oborom tejto funkcie je množina $\langle 0,\infty)$. Podobne $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(\sin x) = \sqrt{\sin x}$. Definičným oborom je množina $\bigcup_{n \in {\bf Z}} \langle 2n\pi , (2n+1)\pi \rangle$ (prečo?). $\clubsuit$

Na tomto príklade je vidieť, že vo všeobecnosti

$$f \circ g \neq g \circ f.$$

Niekedy je potrebné danú zloženú funkciu rozložiť na jednotlivé zložky (pozri deriváciu zloženej funkcie v nasledujúcej kapitole).

Príklad 4. Rozložme funkciu $f:\ y=tg^3(x-\frac{\pi}{4})$ na zložky.

Riešenie: Postupujeme tak, že si uvedomujeme postupnosť úkonov s hodnotou x:

$$x \qquad \stackrel{-\frac{\pi}{4}} \longrightarrow \qquad ... ...ckrel{(\ \ )^3} \longrightarrow \qquad tg^3(x-\frac{\pi}{4}).$$

Preto $f(x) = p \circ q \circ r(x)$, kde $p(x)=x^3$, $q(x)=tg\ x$ a $r(x)=x-\frac{\pi}{4}$. $\clubsuit$

Príklad 5. Porovnajme funkcie $g \circ h$ a $h \circ g$, ak $g(x)=\sqrt{x}$ a $h(x)=x^2$.

Riešenie: $g \circ h(x) = \sqrt{x^2} = \vert x\vert$ (prečo ?) a $h \circ g(x) = (\sqrt{x})^2 = x_{/ \langle 0,\infty)}$. Funkcie sa nerovnajú, funkcia $h \circ g(x)$ je zúžením funkcie $g \circ h(x)$. $\clubsuit$