Pojem funkcie, obory

V prípade, keď vzťah závislosti medzi veličinami $x$ a $y$ spĺňa podmienku

každá hodnota veličiny $x$ z istej množiny jednoznačne určuje hodnotu veličiny $y$

hovoríme o funkčnej závislosti alebo funkcii. Veličinu $x$ voláme nezávislou premennou a veličinu $y$ voláme závislou premennou. V ďalšom texte obidve veličiny nadobúdajú hodnoty z množiny ${\bf R}$.
Funkcie zapisujeme pomocou matematickej rovnice $y=f(x)$^6.1. Poznamenajme, že rovnice $y=5x+19$ a $p=5v+19$ určujú tú istú funkciu, zmena označenia premenných nemá vplyv na funkciu, pravidlo priradenia sa nemení.
Definičný obor funkcie $f$ je množina všetkých prípustných hodnôt nezávislej veličiny, označujeme ho symbolom $D(f)$.
Obor hodnôt funkcie $f$ je množina všetkých hodnôt $f(x)$, kde $x \in D(f)$ a označujeme ju $H(f)$.
Poznámka. Pokiaľ nebude vyslovene uvedené inak, tak v celom ďalšom texte budeme pod funkciou rozumieť len takú funkciu, ktorej definičný obor obsahuje aspoň dve rôzne čísla.

Príklad 1. Nájdime definičné obory a obory hodnôt funkcií

b )

$g:\ y=x^2+3x-10$,

c )

$f:\ y=\sqrt{\frac{3x+2}{5-x}}$.

Riešenie:

b )

Definičný obor je R. Obor hodnôt tvorí množina všetkých $r\in{\bf R}$, pre ktoré má rovnica $x^2+3x-10=r$ reálne riešenie. Diskriminant upravenej rovnice $x^2+3x-(10+r)=0$ je $9+4(10+r)$ a má byť nezáporný. Oborom hodnôt je množina riešení nerovnice $9+4(10+r)\ge0$, $H(g)=\langle -\frac{49}{4},\infty)$. Poznamenajme, že príklad sa dá riešit aj inak, doplnením na štvorec.

c )

Definičným oborom je množina všetkých riešení nerovnice $\frac{3x+2}{5-x} \ge 0$. Je to množina $D(f)=\langle-\frac23,5)$. Riešením rovnice $\sqrt{\frac{3x+2}{5-x}} = r$ pre $r \geq 0$ (prečo má byť $r \geq 0$ ?) je $x = \frac{5r^2-2}{r^2+3}$, čo sa dá po vydelení zapísať $x = 5 - \frac{17}{r^2+3}$. Z tohoto vyjadrenia vidieť, že pre všetky $r \geq 0$ platí $x \in \langle-\frac23,5)$. Preto $H(f) = \langle 0,\infty)$.

$\clubsuit$