Využitie inverznej matice

Uvažujme opäť o sústave (4.5). Kedže matica A sústavy je regulárna, tak existuje práve jedno riešenie tejto sústavy. Teda platí rovnosť

$${\bf Ar = b }.$$

Nakoľko matica A je regulárna, tak existuje ku nej inverzná matica ${\bf A^{-1}}$ tej vlastnosti, že platí

$${\bf A^{-1}}. {\bf A} = {\bf A}. {\bf A^{-1}} = {\bf I_n}.$$

Pre vektor ${\bf A^{-1}}$b zrejme potom platí

$${\bf A}({\bf A^{-1}}{\bf b}) = ({\bf A}{\bf A^{-1}}){\bf b}={\bf I_n}{\bf b}= {\bf b}.$$

Teda z jednoznačnosti riešenia dostávame, že

$${\bf r} = {\bf A^{-1}}{\bf b}.$$

Ku tomuto vyjadreniu riešenia sme sa dostali tak, že sme obe strany rovnosti ${\bf A}{\bf r} = {\bf b}$ zľava vynásobili maticou ${\bf A^{-1}}$.

Príklad 6. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} 2x_1 & + & x_2 & = & 7 \\ x_1 & - & x_2 & = & 2 \\ \end{array}$$

je možné riešiť pomocou inverznej matice a ak áno, nájdite jej riešenie touto metódou.

Riešenie: Pre

$${ {\bf A =} { \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -... ...eft( \begin{array}{r} 7 \\ 2 \\ \end{array} \right) } }$$

môžeme danú sústavu rovníc zapísať v tvare ${\bf Ax = b }$. Zrejme $n = 2$. Pretože $\mid {\bf A} \mid$ $=-3 \neq 0$ je matica A regulárna a existuje ku nej inverzná matica. Metódami uvedenými v časti o určovaní inverznej matice sa dá zistiť, že

$${ {\bf A^{-1} =} { \left( \begin{array}{rr} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & -2/3 \\ \end{array} \right). } }$$

Preto

$${ {\bf r=A^{-1}b=} { \left( \begin{array}{rr} 1/3 & 1/3... ...t( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ \end{array} \right). } }$$

$\clubsuit$

Príklad 7. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} x_1 & + & x_2 & = & 2 \\ 3x_1 & + & 3x_2 & = & 4 \\ \end{array}$$

je možné riešiť pomocou inverznej matice a ak áno, nájdite jej riešenie touto metódou.

Riešenie: Pre vhodne definovanú maticu A tejto sústavy platí, že jej determinant je rovný nule. Preto nemôžeme danú sústavu rovníc riešiť pomocou inverznej matice. Všimnite si, že sústava nie je riešiteľná. $\clubsuit$

Príklad 8. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 & + & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 6 \\ x_1 & + & 5x_2 & + & 3x_3 & = & 2 \\ \end{array}$$

je možné riešiť pomocou inverznej matice a ak áno, nájdite jej riešenie touto metódou.

Riešenie: Matica sústavy nie je štvorcová, a preto nemôžeme danú sústavu riešiť pomocou inverznej matice. $\clubsuit$

Inverznú maticu môžeme využiť aj v komplikovanejších úlohách.

Príklad 9. Zistite, či existuje matica X tak, aby platil vzťah

$${ {\bf X} { \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 1 & 3 \... ...gin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right) } }$$

a ak áno, určte ju.

Riešenie: Označme

$${ {\bf A = } { \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 1 & ... ...gin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right) } }$$

matice typu $2\times 2$. Ak matica X existuje, tak je nutne typu $2\times 2$. Nech platí

$${ {\bf X = } { \left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \\ \end{array} \right). } }$$

Z rovnice XA=B roznásobením dospejeme ku sústave lineárnych rovníc tvaru:

$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} 3x_1 & + & x_2 & & & & & = & 1 &... ... & 1 & \\ & & & & 2x_3 & + & 3x_4 & = & 2 &. \\ \end{array}$$

Teda existencia, neexistencia, jednoznačnosť prípadne viacznačnosť určenia matice X je ekvivalentná tomu, či vyššie uvedená sústava rovníc má, alebo nemá riešenie, prípadne koľko riešení tejto sústavy existuje. Aj keď je to sústava $4$ rovníc o $4$ neznámych, sú to vlastne dve sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych s tou istou maticou sústavy, ale rôznymi pravými stranami. Na ich riešenie by sme mohli použiť Cramerovo pravidlo (prečo ?).

Ak si uvedomíme, že matica A je regulárna ( ${\vert{\bf A}\vert=7}$), tak existuje ku nej inverzná matica ${\bf A^{-1}}$. Z predpokladanej rovnosti ${\bf XA=B}$ vynásobením sprava ${\bf A^{-1}}$ dostávame explicitné vyjadrenie matice X v tvare ${\bf X=BA^{-1}}$. Teda existuje jediná taká matica X a ľahko zistíme, že pre ňu platí:

$${ {\bf X = } { \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & ... ...{rr} 2/7 & 1/7 \\ 1/7 & 4/7 \\ \end{array} \right). } }$$

$\clubsuit$