Cramerovo pravidlo

Ak označíme ${{D \equiv}{\mid {\bf A } \mid}}$ a $D_1$, $D_2$ , ... , $D_n$ determinanty tých matíc, ktoré sme dostali z matice ${\bf A}$ tak, že sme v nej postupne nahradili prvý stĺpec vektorom ${
\bf b}$, druhý stĺpec vektorom ${
\bf b}$, až $n$-tý stlpec vektorom ${
\bf b}$, tak platí:

\begin{displaymath}r_1 = \frac{D_1}{D} ,r_2 = \frac{D_2}{D} , \ldots , r_n =
\frac{D_n}{D}. \end{displaymath}

Takýto spôsob určenia riešenia sústavy Ax = b s regulárnou maticou A ( ${{\mid {\bf A } \mid} \neq 0}$ ) sa nazýva Cramerovo pravidlo.

Príklad 2. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrr}
1x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 8 \\ ...
...& = & 10 \\
4x_1 & + & 3x_2 & - & 2x_3 & = & 4 \\
\end{array}\end{displaymath}

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: V našom prípade je $n=3$ a

\begin{displaymath}
{
{\bf A =}
{
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2& 1 \\
3...
...n{array}{r}
8 \\
10 \\
4 \\
\end{array} \right)
} .
}
\end{displaymath}

Nakoľko je ${{{\mid {\bf A } \mid} =14} \neq 0}$, môžeme použiť Cramerovo pravidlo. Postupne dostávame

\begin{displaymath}
D_1 =
\left\vert
\begin{array}{rrr}
8 & 2 & 1 \\
10 & 2 & 1 \\
4 & 3 & -2 \\
\end{array} \right\vert
= 14
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
D_2 =
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 8 & 1 \\
3 & 10 & 1 \\
4 & 3 & -2 \\
\end{array} \right\vert
= 28
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
D_3 =
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 8 \\
3 & 2 & 10 \\
4 & 3 & 4 \\
\end{array} \right\vert
= 42,
\end{displaymath}

a preto $r_1 = 14/14 $, $r_2 = 28/14 $, $r_3 = 42/14 $. Riešením sústavy je teda vektor r = ${(1 , 2 , 3 )^T}$. $\clubsuit$

Príklad 3. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrr}
2x_1 & + & x_2 & = & 2 \\
4x_1 & + & 2x_2 & = & 4 \\
\end{array}\end{displaymath}

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: Zrejme v našom prípade je $n = 2$ a

\begin{displaymath}
{
{\bf A =}
{
\left(
\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
4 & 2...
...(
\begin{array}{r}
2 \\
4 \\
\end{array} \right)
} .
}
\end{displaymath}

Nakoľko je ${{\mid {\bf A } \mid} = 0}$, nemôžeme použiť Cramerovo pravidlo. Všimnite si, že sústava má riešenie. Je ich nekonečne veľa, sú to vektory tvaru ${(t , 2-2t )^T}$, kde $t$ je ľubovoľné reálne číslo. Cramerovo pravidlo nám neumožňuje tieto riešenia nájsť. $\clubsuit$

Príklad 4. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrrrrr}
2x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 8 \\
4x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\
\end{array}\end{displaymath}

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: V našom prípade sa jedná o sústavu dvoch lineárnych rovníc o troch neznámych. Cramerovo pravidlo nám neumožňuje túto sústavu riešiť. $\clubsuit$