Cramerovo pravidlo

Ak označíme ${{D \equiv}{\mid {\bf A } \mid}}$ a $D_1$, $D_2$ , ... , $D_n$ determinanty tých matíc, ktoré sme dostali z matice ${\bf A}$ tak, že sme v nej postupne nahradili prvý stĺpec vektorom ${ \bf b}$, druhý stĺpec vektorom ${ \bf b}$, až $n$-tý stlpec vektorom ${ \bf b}$, tak platí:

$$r_1 = \frac{D_1}{D} ,r_2 = \frac{D_2}{D} , \ldots , r_n = \frac{D_n}{D}.$$

Takýto spôsob určenia riešenia sústavy Ax = b s regulárnou maticou A ( ${{\mid {\bf A } \mid} \neq 0}$ ) sa nazýva Cramerovo pravidlo.

Príklad 2. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrr} 1x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 8 \\ ... ...& = & 10 \\ 4x_1 & + & 3x_2 & - & 2x_3 & = & 4 \\ \end{array}$$

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: V našom prípade je $n=3$ a

$${ {\bf A =} { \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2& 1 \\ 3... ...n{array}{r} 8 \\ 10 \\ 4 \\ \end{array} \right) } . }$$

Nakoľko je ${{{\mid {\bf A } \mid} =14} \neq 0}$, môžeme použiť Cramerovo pravidlo. Postupne dostávame

$$D_1 = \left\vert \begin{array}{rrr} 8 & 2 & 1 \\ 10 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ \end{array} \right\vert = 14$$

$$D_2 = \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 8 & 1 \\ 3 & 10 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ \end{array} \right\vert = 28$$

$$D_3 = \left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 8 \\ 3 & 2 & 10 \\ 4 & 3 & 4 \\ \end{array} \right\vert = 42,$$

a preto $r_1 = 14/14$, $r_2 = 28/14$, $r_3 = 42/14$. Riešením sústavy je teda vektor r = ${(1 , 2 , 3 )^T}$. $\clubsuit$

Príklad 3. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrr} 2x_1 & + & x_2 & = & 2 \\ 4x_1 & + & 2x_2 & = & 4 \\ \end{array}$$

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: Zrejme v našom prípade je $n = 2$ a

$${ {\bf A =} { \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 4 & 2... ...( \begin{array}{r} 2 \\ 4 \\ \end{array} \right) } . }$$

Nakoľko je ${{\mid {\bf A } \mid} = 0}$, nemôžeme použiť Cramerovo pravidlo. Všimnite si, že sústava má riešenie. Je ich nekonečne veľa, sú to vektory tvaru ${(t , 2-2t )^T}$, kde $t$ je ľubovoľné reálne číslo. Cramerovo pravidlo nám neumožňuje tieto riešenia nájsť. $\clubsuit$

Príklad 4. Zistite, či sústavu lineárnych rovníc

$$\begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 8 \\ 4x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ \end{array}$$

je možné riešiť Cramerovým pravidlom a ak áno, určte jej riešenie týmto pravidlom.

Riešenie: V našom prípade sa jedná o sústavu dvoch lineárnych rovníc o troch neznámych. Cramerovo pravidlo nám neumožňuje túto sústavu riešiť. $\clubsuit$