Výpočet inverznej matice pomocou determinantov

Popri metóde uvedenej v 3.1.7 je možné inverznú maticu vypočítat' aj pomocou determinantov. Táto metóda má značný teoretický význam; pre praktické počítanie je vhodná len pre matice typu najviac $4\times 4$.

Nech ${\bf A}=[a_{ij}]$ je štvorcová matica typu $n\times n$. Ako už vieme z 3.1.9, ak $\vert{\bf A}\vert=0$, tak ku matici $\bf A$ neexistuje inverzná matica. Preto v d'alšom predpokladáme $\vert{\bf A}\vert\ne 0$. Rovnako ako pri definícii determinantu, nech ${\bf A}_{ij}$ označuje štvorcovú maticu typu $(n-1)\times (n-1)$, ktorá vznikne z matice $\bf A$ vynechaním jej $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca. Potom platí:

$${\bf A}^{-1}=\frac{1}{\vert{\bf A}\vert}\ [b_{ij}]_{n\times ... ...{{{\rm kde}}} \ \ \ b_{ij}=(-1)^{i+j}\vert{\bf A}_{ji}\vert\ .$$ (3.3)

(Pozor na zámenu poradia indexov!)

Pre regulárnu maticu A typu $2\times 2$ z uvedeného ihned' vyplýva nasledujúca formula:

$${\rm Ak\ } \ {\bf A}=\left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12}... ...} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right)\ \ .$$

Príklad 8. Pomocou determinantov vypočítajme inverznú maticu (ak existuje) ku matici

$${\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -5 & 3 \\ 3 & -4 & 8 \end{array}\right) \ .$$

Riešenie: Použitím vzorčeka pre výpočet determinantu $3\times 3$ (pozri 3.1.8) zistíme, že $\vert{\bf A}\vert=7$, a preto k danej matici existuje inverzná matica. Podl'a (3.3) jej prvky sú $(-1)^{i+j}\vert{\bf A}_{ji}\vert/\vert{\bf A}\vert$ pre $1\le i,j\le 3$, teda

$${\bf A}^{-1}=\frac{1}{\vert{\bf A}\vert}\left( \begin{array}{... ...rt{\bf A}_{23}\vert&\vert{\bf A}_{33}\vert\end{array}\right)\ .$$

Ako vieme, matice ${\bf A}_{ji}$ získame z pôvodnej matice $\bf A$ vynechaním $j$-teho riadku a $i$-teho stĺpca; preto

$${\bf A}^{-1}=\frac17 \left( \begin{array}{rrr} {\left\vert \b... ...ay}{rr} 1&-3\\ 2&-5 \end{array}\right\vert} \end{array}\right)$$

Po výpočte uvedených 9 determinantov typu $2\times 2$ (použitím vzorčeka z 3.1.8) napokon dostaneme:

$${\bf A}^{-1}=\frac17 \left( \begin{array}{rrr} -28 & 16 & 1\\... ...& 1/7\\ -1 & 2/7 & 1/7\\ 1 & -5/7 & 1/7\end{array}\right) \ .$$

O správnosti výpočtu sa presvedčte skúškou -- t.j. priamym vynásobením ukážte, že naozaj platí ${\bf A}{\bf A}^{-1}={\bf A}^{-1}{\bf A}={\bf I}_3$.