Definícia determinantu štvorcovej matice

Posledným dôležitým pojmom, ktorý tu vysvetlíme, je pojem determinantu. Ak ${\bf A}=[a_{ij}]$ je štvorcová matica typu $n\times n$, tak jej determinant je isté presne definované číslo, ktoré označujeme symbolom $\vert{\bf A}\vert$. Keďže ide o pomerne komplikovanú záležitost', najprv zavedieme pomocné označenie. Symbolom ${\bf A}_{ij}$ označíme štvorcovú maticu typu $(n-1)\times (n-1)$, ktorá vznikne z matice $\bf A$ vynechaním jej $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca. Samotný determinant $\vert{\bf A}\vert$ teraz definujeme rekurzívne takto: Ak $n=1$, tak determinant matice ${\bf A}=[a_{11}]$ typu $1\times 1$ je jednoducho $\vert{\bf A}\vert=a_{11}$. Ak $n\ge 2$, tak pre každý riadkový index $i$ platí:

$$\vert{\bf A}\vert=(-1)^{i+1}a_{i1}\vert{\bf A}_{i1}\vert + ... ...i2}\vert +\ldots + (-1)^{i+n}a_{in}\vert{\bf A}_{in}\vert \ .$$ (3.1)

Analogicky, ak $j$ je ľubovoľný stĺpcový index, tak platí:

$$\vert{\bf A}\vert=(-1)^{1+j}a_{1j}\vert{\bf A}_{1j}\vert + ... ...2j}\vert +\ldots + (-1)^{n+j}a_{nj}\vert{\bf A}_{nj}\vert \ .$$ (3.2)

Uvedené vzt'ahy nazývame aj rozvojom determinantu podl'a $i$-teho riadku, resp. $j$-teho stĺpca.

Fakt, že výpočet determinantu nezávisí od konkrétneho výberu riadkového indexu $i$ v (3.1) alebo stĺpcového indexu $j$ v (3.2), je jedno z magických tvrdení teórie matíc!

Aplikovaním uvedenej definície na matice typu $2\times 2$ a $3\times 3$ ihned' dostávame: 1. Ak ${\bf A}=[a_{ij}]$ je matica typu $2\times 2$, tak

$$\vert{\bf A}\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ \ .$$

2. Pre maticu ${\bf A}=[a_{ij}]$ typu $3\times 3$ máme

$$\vert{\bf A}\vert=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+ a_{1... ...a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\ .$$

K uvedeným pravidlám existujú užitočné mnemotechnické pomôcky. (Pozri obrázok 3.1.)

Obrázok 3.1: Determinanty matíc 2. a 3. stupňa

Upozorňujeme, že tieto pomôcky nemajú jednoduché zovšeobecnenie pre počítanie determinantov matíc typu $n\times n$ ak $n\ge 4$. Rovnako, čitateľ by si mal dobre uvedomiť, že determinanty sú definované len pre štvorcové matice.

Príklad 6. Pomocou definície vypočítajme determinant matice

$${\bf A}=\left( \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 5 & 3 \\ -4 & 2... ...-1 \\ 2 & -3 & -4 & 5 \\ -3 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)\ .$$

Riešenie: Použijeme rozvoj podl'a štvrtého riadku (pretože obsahuje najviac núl), čiže v (3.1) položíme $i=4$:

$$\vert{\bf A}\vert=(-1)^{4+1}.(-3).\vert{\bf A}_{41}\vert + (... ...vert{\bf A}_{43}\vert + (-1)^{4+4}.0.\vert{\bf A}_{44}\vert \ .$$

Teraz vypočítame determinanty matíc ${\bf A}_{41}$ a ${\bf A}_{43}$. Keďže

$${\bf A}_{41}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 5 & 3 \\ 2 & -3 & -1 \\ -3 & -4 & 5 \end{array}\right) \ ,$$

podl'a pravidla počítania determinantu $3\times 3$ máme

$$\vert{\bf A}_{41}\vert= (-2).(-3).5 + 5.(-1).(-3) + 3.2.(-4) - 3.(-3).(-3) - (-2).(-1).(-4) - 5.2.5$$

a teda $\vert{\bf A}_{41}\vert= -48$. Podobne, keďže

$${\bf A}_{43}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{array}\right) \ ,$$

máme analogicky

$$\vert{\bf A}_{43}\vert= 1.2.5 + (-2).(-1).2 + 3.(-4).(-3) - 3.2.2 - 1.(-1).(-3) - (-2).(-4).5 = -5\ .$$

Napokon, vynechaním nulových sčítancov dostávame:

$$\vert{\bf A}\vert=(-1)^{4+1}.(-3).\vert{\bf A}_{41}\vert + (-1)^{4+3}.2.\vert{\bf A}_{43}\vert = 3.(-48) -2.(-5)= -134\ .$$