Komplexné čísla

Množinu C všetkých usporiadaných dvojíc $(a,b)$, kde $a\in{\bf R},\ b\in {\bf R}$ nazývame množinou komplexných čísel, ak pre každé dva prvky $z_1 =(a,b)$, $z_2=(c,d)$ z množiny C je definovaná rovnosť, sčítanie a násobenie takto:

1. $z_1=z_2$ práve vtedy, keď $a=c,\ b=d$,
2. $z_1 +z_2 =(a+c,b+d)$,
3. $z_1 \cdot z_2 =( ac-bd,ad+bc).$

Pre sčítanie a násobenie kompexných čísel platí asociatívny a komutatívny zákon. Násobenie komplexných čísel je distributívne vzhľadom na sčítanie komplexných čísel.
Nech $z=(a,b)$ je komplexné číslo. Potom číslo $a\in {\bf R}$ nazývame reálnou časťou a číslo $b\in {\bf R}$ imaginárnou časťou komplexného čísla $z$. Označujeme ich takto: $a=\hbox{Re}\ z,\ b=\hbox{Im}\ z$.
Komplexné číslo $(a,0)$ stotožňujeme s reálnym číslom $a$ : $(a,0)=a$. Komplexné číslo $(0,b)$, kde $b\neq0$, nazývame rýdzoimaginárnym číslom. Číslo $(0,1)$ nazývame imaginárnou jednotkou a označujeme ho $(0,1) = \hbox{i}$. Komplexné číslo $z=(a,b)$ píšeme aj v tvare:

$$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)= (a,0)+(b,0)\cdot(0,1) = a+\hbox{i}b.$$

Komplexné číslo $a-\hbox{i}b$ nazývame komplexne združeným ku komplexnému číslu $a+\hbox{i}b$. Absolútnou hodnotou alebo modulom komplexného čísla $z=a+\hbox{i}b$ nazývame číslo

$$\vert z\vert= \sqrt{a^2+b^2}.$$

Ak pre komplexné číslo $z$ platí: $\vert z\vert=1$, nazývame ho komplexnou jednotkou. Každú komplexnú jednotku $z$ možno písať v tvare:

$$z= \cos \alpha + \hbox{i} \sin \alpha,$$

kde $\alpha$ je reálne číslo. Toto číslo označujeme aj $\hbox{e}^{{\rm i}\alpha}$ a platí:

$$\hbox{e}^{{\rm i}\alpha} = \cos \alpha + \hbox{i} \sin \alpha.$$

Argumentom komplexného čísla $z=a+\hbox{i}b$ , kde $z\neq 0$, nazývame číslo $\varphi = \hbox{Arg}\, z$, pre ktoré platí:

$$\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Ak $z=0$, tak Arg$\, z=2k\pi$, kde $k$ je celé číslo. Ak pre číslo $\varphi$ platí: $-\pi \leq \varphi \leq \pi$, nazývame ho hlavnou hodnotou argumentu a ozančujeme ho arg$\,z$.
Každé komplexné číslo $z$ možno vyjadriť v goniometrickom tvare:

$$z=\vert z\vert( \cos \varphi + \hbox{i} \sin \varphi),$$

kde $\varphi = \hbox{arg}\, z$, alebo v exponenciálnom tvare:

$$z= \vert z\vert \hbox{e}^{{\rm i} \varphi},$$

kde $\varphi = \hbox{arg}\, z$.

Veta 1.1   Pre číslo i platí:

$$\hbox{i}^2=-1, \ \ \hbox{i}^3 = -\hbox{i}, \ \ \hbox{i}^4 = 1.$$