Uhly

Odchýlka (uhol) dvoch priamok, dvoch rovín alebo priamky a roviny je číslo z intervalu $\langle0^\circ,90^\circ\rangle$. Jeho hodnotu môžeme vypočítať z hodnôt vektorov určujúcich príslušné priamky alebo roviny a z podmienky uvedenej v predchádzajúcej vete. Vo všeobecnosti môžeme povedať, že ak z rovníc priamok alebo rovín, o ktorých uhol sa jedná, získame informáciu o dvoch vektoroch toho istého typu (t.j. obidva sú normálové alebo obidva sú smerové), použijeme na výpočet uhlu vzťah

$$\cos\ \alpha=\vert\cos\ (\vec{u},\ \vec{v})\vert,\quad \alpha \in \langle 0^\circ,90^\circ\rangle$$ (2.30)

naopak, v prípade, keď z rovníc získame informáciu o dvoch vektoroch rôznych typov, použijeme vzťah

$$\sin\ \alpha=\vert\cos\ (\vec{u},\ \vec{v})\vert, \quad \alpha\in \langle 0^\circ,90^\circ\rangle$$ (2.31)

Príklad 23. Vypočítame odchýlku priamok $p:\ 2x - 4y + 7 = 0$ a $q:\ [x,y] = [1-t,-3+2t]$.

Riešenie: Použijeme vzťah

$$\sin \alpha = \vert\cos([2,-4],[-1,2])\vert = \vert\frac{2.(-1)+(-4).2}{\sqrt{20}\sqrt{5}}\vert = 1$$

Z toho vyplýva, že $\alpha = \arcsin(1) = 90^\circ$, teda dané priamky sú na seba kolmé. $\clubsuit$

Príklad 24. Vypočítame odchýlku rovín $\pi_{1}:\ 2x + 5y - 3z + 11 = 0$ a $\pi_{2}:\ -3x + y + 2z - 6 = 0$.

Riešenie:

$$\cos \alpha = \vert\cos([2,5,-3],[-3,1,2])\vert = \vert\frac{-7}{\sqrt{38}\sqrt{14}}\vert = \frac{7}{2\sqrt{133}}.$$

Preto $\alpha = \arccos(\frac{7}{2\sqrt{133}}) \approx 72,33^\circ$. $\clubsuit$

Príklad 25. Vypočítame odchýlku priamky

$$p:\ [x,y,z] = [2-t,4t,1+3t]$$

a roviny

$$\pi:\ 5x + 2z - 1 = 0.$$

Riešenie:

$$\sin \alpha = \vert\cos([5,0,2],[-1,4,3])\vert = \vert\frac{1}{\sqrt{29}\sqrt{26}}\vert$$

Preto $\alpha = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{754}}) \approx 2,1^\circ$. $\clubsuit$