Vzájomná poloha geometrických útvarov

V tejto ako aj v nasledujúcich častiach sa budeme zaoberať vzájomnou polohou viacerých (väčšinou dvoch) geometrických útvarov. Určenie tejto polohy obsahuje odpovede na otázky:

• Je prienik daných útvarov prázdny alebo neprázdny?
• Ak je prienik neprázdny, koľko obsahuje bodov?
• Ak prienik obsahuje nekonečne veľa bodov, akú množinu tieto body tvoria?

Najskôr si uvedomme, že hlavným princípom pri hľadaní odpovedí na tieto otázky je modifikácia už spomínaného pravidla (P):

(P') Ľubovoľný bod $X=[x,y,z]$ leží v prieniku daných útvarov práve vtedy, ak jeho súradnice $x$, $y$ a $z$ spĺňajú rovnice všetkých daných útvarov.

Na základe tohoto pravidla analytické riešenie úlohy spočíva v riešení sústavy rovníc daných objektov. Podľa počtu riešení tejto sústavy určíme typ vzájomnej polohy útvarov.
Niekedy je vhodné pred samotným riešením sústavy porovnať vzťah určujúcich vektorov, ktorý naznačí o aký typ vzájomnej polohy ide. Napríklad, ak máme v rovine jednu priamku určenú všeobecnou rovnicou a druhú priamku určenú parametrickými rovnicami, pričom normálový vektor jednej je rovnobežný so smerovým vektorom druhej, tak dané priamky sú na seba kolmé.
Inokedy, napríklad v prípade dvoch priamok v priestore, ktorých rovnice nemajú spoločné riešenie, je potrebná informácia o ich smerových vektoroch na rozlíšenie, či ide o priamky rovnobežné alebo mimobežné.

Príklad 17. Určíme vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$ v rovine, ak

$$p:\quad [x,y] = [1 - t, 2 - 3t]\quad a \quad q:\quad 2 x + 6 y + 3 = 0.$$

Riešenie: Smerový vektor $\vec{s}=[-1,-3]$ priamky $p$ je rovnobežný s normálovým vektorom $\vec{n}=[2,6]$ priamky $q$, pretože $\frac{-1}{2} = \frac{-3}{6}$. Priamky $p$ a $q$ sú kolmé. $\clubsuit$

Príklad 18. Určíme všetky čísla $b$ a $c$, pre ktoré priamka

$$p:\quad [x,y,z] = [-3 - 5 t, 1 + 4 t, b + 2 t]$$

leží v rovine

$$\pi:\quad 6 x - 2 y + c z - 7 = 0.$$

Riešenie: Priamka $p$ leží v rovine $\pi$ práve vtedy, ak jej smerový vektor $\vec{s}=[-5,4,2]$ je kolmý na normálový vektor $\vec{n}=[6,-2,c]$ roviny a súčasne bod $[-3,1,b]$ priamky leží v rovine. Podmienka kolmosti je splnená, ak

$$(-5).6 + 4.(-2) + 2.c = 0, \ \mathrm{teda\ pre\quad}c = 19.$$

Druhá podmienka je splnená, ak

$$6.(-3) - 2.1 + 19.b - 7 = 0, \ \mathrm{teda\ pre\quad}b = \frac{27}{19}.$$

$\clubsuit$

Príklad 19. Určíme vzájomnú polohu priamok
$p:\ [x,y,z] = [2-3t,-5,2t]$ a $q:\ [x,y,z] = [-1+4u,3-u,-3u]$.

Riešenie: Smerové vektory $\vec{s_{p}} = [-3,0,2]$ a $\vec{s_{q}} = [4,-1,-3]$ sú rôznobežné, preto priamky sú buď rôznobežné alebo mimobežné. Rôznobežné sú práve vtedy, ak majú spoločný bod a to je práve vtedy, ak existujú také čísla $t$ a $u$, pre ktoré platí

$$2 - 3t = -1 + 4u,\quad -5 = 3 - u, \quad 2t = -3u.$$

Z druhej rovnice vyplýva, že ak také čísla existujú, tak $u = 8$. Dosadením do tretej rovnice dostávame $t = -12$. Dosadením obidvoch čísel do prvej rovnice dostávame $38 = 31$, čo nie je pravda. Preto sústava rovníc nemá riešenie, v dôsledku čoho priamky nemajú spločný bod a teda sú mimobežné. $\clubsuit$

V prípade určovania vzájomnej polohy priamky a kužeľosečky, priamky a guľovej plochy, roviny a guľovej plochy nemáme k dispozícii dvojicu určujúcich vektorov a preto sa obmedzíme na riešenie sústavy, ktorá pozostáva z jednej kvadratickej a jednej lineárnej rovnice, alebo z jednej kvadratickej a niekoľkých lineárnych parametrických rovníc. V prvom prípade vyjadríme z lineárnej rovnice niektorú premennú a dosadíme do kvadratickej, v druhom dosadíme hodnoty $x$, $y$, ($z$) z parametrických rovníc do kvadratickej. Podľa počtu riešení dostávame typ vzájomnej polohy.

Príklad 20. Určíme vzájomnú polohu priamky $p:\ [x,y] = [1+t,4+2t]$ a kružnice $k:\ (x+2)^2 + (y-3)^2 = 25$.

Riešenie: Dosadíme za $x$ a $y$ z rovnice priamky do rovnice roviny

$$(1 + t + 2)^2 + (4 + 2 t - 3)^2 = 25.$$

Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu pre $t$

$$t^2 + 2 t - 3 = 0$$

s riešeniami $t_{1} = -3$ a $t_{2} = 1$. Keď tieto dve hodnoty dosadíme do rovníc priamky, dostaneme súradnice spoločných bodov priamky a kružnice $P[-2,-2]$ a $Q[2,6]$. $\clubsuit$

Príklad 21. Je daná hyperbola $h:\ \frac{(x-5)^2}{4} - \frac{(y + 2)^2}{12} = 1$. Nájdeme všetky čísla $k$, pre ktoré existuje k tejto hyperbole dotyčnica so smernicou $k$.

Riešenie: Najskôr si uvedomíme, že dotyčnica so smernicou $k$ k danej hyperbole $h$ existuje práve vtedy, ak existuje dotyčnica so smernicou $k$ k hyperbole $h':\ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$, ktorá vznikne posunutím hyperboly $h$. Dosadíme za $y$ zo smernicovej rovnice všeobecnej priamky $p:\ y = kx + q$ do rovnice hyperboly $h'$

$$\frac{x^2}{4} - \frac{(kx + q)^2}{12} = 1.$$

Túto rovnicu upravíme na tvar kvadratickej rovnice s neznámou $x$ a parametrami $k$ a $q$

$$(3 - k^2) x^2 - 2 kqx - (q^2 + 12) = 0.$$

Uvedomme si, že pre dané hodnoty parametrov $k$ a $q$ sú prípadnými riešeniami poslednej rovnice $x$-ové súradnice spoločných bodov priamky $p$ a hyperboly $h'$. Priamka $p$ je pritom dotyčnicou hyperboly $h'$ práve vtedy, ak rovnica má jediné riešenie a to je vtedy, ak jej diskriminant je $0$. Našou úlohou je preto zistiť všetky čísla $k$, pre ktoré existuje také číslo $q$, že

$$D = (-2kq)^2 + 4(3 - k^2)(q^2 + 12) = 0.$$

Po úpravách dostaneme $k^2 = \frac{q^2}{4} + 3$. Na pravej strane poslednej rovnice môžeme rôznymi voľbami hodnoty $q$ dostať všetky čísla z intervalu $\langle 3, \infty)$. Preto všetky možné hodnoty $k$ sú také, že $k^2$ je z toho istého intervalu. Riešením sú všetky čísla $k \in (-\infty,-\sqrt{3}\rangle \cup \langle\sqrt{3},\infty)$. $\clubsuit$

Príklad 22. Nájdeme rovnicu dotykovej roviny ku guľovej ploche $g:\ (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-6)^2 = 24$ v bode $T[-1,1,4]$.

Riešenie: Z geometrie vieme, že spojnica stredu guľovej plochy s dotykovým bodom je kolmá na dotykovú rovinu. Preto vektor $\vec{T - S}$, kde $S[3,-1,6]$ je stred guľovej plochy, je normálový vektor hľadanej roviny, ktorej rovnicu dostávame zo vzťahu 2.23

$$-4(x+1) + 2(y-1) - 2(z-4) = 0$$

a po úprave

$$2 x - y + z - 1 = 0.$$

$\clubsuit$