Výsledky cvičení

1. a) $2$,        b) $3$,        c) $-0,1$,        d) $-2$.

2. a) $-4x$,        b) $-\frac{3}{(x-1)^2}$,        c) $-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$,
d) $\frac{1}{\cos^2 x}$,         e) $\mbox{sign}\,x,\quad x \neq 0$,        f) $3x\vert x\vert$.

3. a) $y'=28x^3 - 36x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}$,         b) $y'=\frac95 \sqrt[5]{x^4}$,
c) $y'=9x^2-16x+19$,         d) $y'= -\frac{2}{(1+x)^2}$,
e) $y'=\frac{1}{\cos^2 x} - 3\log_4 x - \frac{3}{\ln 4}$,         f) $y'=3x^2\cosh x + x^3\sinh x + \frac{6-\sqrt{x}}{x^{\frac 23}(3+\sqrt{x})^2}$,
g) $y'=4\times \left( \frac32 \right)^x\times (\ln 3 - \ln 2)$,         h) $y'=e^x(\cos x - \sin x + \arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$.

4. a) $y'=-3\sin 3x$,        b) $y'=14x(x^2+1)^6$,
c) $y'=\frac{1-2x}{x-x^2}$,         d) $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$,
e) $y'=\frac{6x^2\mbox{tg}\,x^3}{\cos^2 x^3}$,         f) $y'=-\frac{1}{3\sin (\frac{x}{3}) \cos(\frac{x}{3})}$,
g) $y'= -2x\times 2^{-x^2}\ln 2 - \frac{1}{2x}$,         h) $y'=-\frac{2e^x\arccos e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$,
i) $y'=\frac{2x}{\ln^2 2}$,         j) $y'=\frac{1}{x\sinh (\ln x)}$,
k) $y'=6x^2e^{\sin^2 x^3} \sin x^3 \cos x^3$,         l) $y'=-\frac{4}{15\sqrt[15]{(4x+1)^{16}}}$.

5. a) $-\frac52$,        b) $\frac{4}{3}$,         c) $4$,        d) $-\frac{1}{10}$.

6. a) $x^x(\ln x+1)$,         b) $(\ln x)^x(\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x})$,
c) $(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\times \frac{\ln \sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$,          d) $\left(\frac{x}{x+1}\right)^x\left(\ln \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1} \right)$.

7. a) $y'=\frac{1}{y}$,        b) $y'=-\frac{y}{x}$,          c) $y'=-\frac{4x}{9y}$,
d) $y' = -1$,         e) $y'(0)=\frac{2}{3\sqrt[3]{7}}$,        f) $y'(0)=-\frac{1}{e}$.

8. a) $y'=\frac{1}{t}$,        b) $y'=-\frac{1+\cos t}{\sin t}$,          c) $y'=-\frac23 \mbox{cotg}\,t$,
d) $y' = -1$,         e) $y'\frac{\cos t - t \sin t}{1-\sin t - t \cos t}$,         f) $y'=-\frac{\cos t- \sin t}{\cos t + \sin t}$.

11. a) $y=\sqrt{x},\quad x \in (0,1)$,        b) $y=x$,         c) $y = \sqrt{x}$,
d) $y =-\sqrt{x}$,        e) $y = x+\sin x$,         f) $y=x^2$.

12. Napríklad $f(x) = 2-x$ a $g(x)=x$.

13. Napríklad $f(x) = -\frac12 x^2 - 2x - 3$.

14.
a) $y'=9x^2-8x$, $y''= 18x - 8$, $y'''= 18$, $y^{(4)}=y^{(5)}=0$,
b) $y'=-\sin x$, $y''= -\cos x$, $y'''= \sin x,$ $y^{(4)}=\cos x$, $y^{(5)}=-\sin x$,
c) $y'=e^{2x}(6x-5)$, $y''=e^{2x}(12x-4)$, $y'''=e^{2x}(24x+4)$,
d) $y'=\frac{1}{1+x^2}$, $y''=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$, $y'''= \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$.
e) $y'=2x\ln x + x$, $y''= 2\ln x + 3$, $y'''= \frac{2}{x}$,
f) $y'=\frac{1}{\cosh^2 x}$, $y''=-2 \frac{\sinh x}{\cosh^3 x}$, $y'''= \frac{6 \sinh^2 x - 2 \cosh^2 x}{\cosh^4 x}$,
g) $y'=-\frac{2x}{3y^2}$, $y''=-\frac{6y^3+8x^2}{9y^5}$,
h) $y'= \frac{2}{3t}$, $y''= -\frac{2}{9t^4}$.

15. a) $y^{(n)}=2^n e^{2x}$,        b) $y^{(n)}=3^x (\ln 3)^n$,          c) $y^{(n)}=(-1)^{(n-1)} (n-1)! x^{-n}$,
d) $y^{(n)}=\sinh x$,ak $n$ je párne, $y^{(n)}=\cosh x$, ak $n$ je nepárne,
e) $y^{(n)}=(-1)^n\frac{(2n-1)! x^{-2n}}{(n-1)!}$,         f) $y^{(n)}=(-1)^{(n-1)} \frac{1\times 3\times \cdots \times (2n-3)}{2^n}x^{-\frac{2n-1}{2}}$.

16.
a) $t:\ y = \frac{x-2}{3}$,    $n:\ y = -3x-4$,
b) $t:\ y = -2x + \frac34$,     $n:\ y = \frac12 x - \frac12$,
c) $t:\ y = \frac{4}{25} x + \frac{13}{25}$,     $n:\ y = -\frac{25}{4} x - \frac{123}{10}$,
d) $t:\ y = -x + \frac{\pi}{2}$,     $n:\ y = x - \frac{\pi}{2}$,
e) $t:\ y = -(\ln 3) x + 1$,     $n:\ y = \frac{1}{\ln 3}x+1$,
f) $t:\ y = x+\ln 5 -1$,     $n:\ y = -x + \ln 5 - 1$,

17.
a) dotyčnica neexistuje, normála je jedna: $n:\ y = -x+\frac 32$,
b) $t:\ y = \frac12 x + \frac{47}{16}$,     $n:\ y = \frac12x+\frac92$,
c) dotyčnica neexistuje, normála je jedna: $n:\ y = -x+\frac 32$,
d) $t:\ y = 2x + 1$,    normála neexistuje,
e) dotyčnice sú dve: $t:\ y = -4x \pm (\frac{\pi}{2}+1)$, normála neexistuje.

18. $y=x$.

19. $t:\ y=\sqrt{2}x - 2\sqrt{2}$,     $n:\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

20. Obsah je konštantný $8$.

22. a) $30\ m/s$,        b) $6\ s$,        c) $30\ m/s$,
d) $45\ m$,        e) $0$,        f) $-10\ m/s^2$.

23. a) V časoch $t=\frac85$ a $t=4$,         b) $t \in (\frac85,4)$,        c) $\frac{2187}{125}$.

24. $\frac{20}{3}$.

25. a) $2(x-3)$,        b) $11(x+2)$,        c) $0$,
d) $3x$,        e) $x$,        f) $\frac14 (x-2)$.

26. a) $8,36$,        b) $9-0,45 \times \ln 3$,         c) $9,9$,        d) $\frac{1277}{640}$,
e) $6,018$,        f) $\frac12 - \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$,         g) $1-\frac{2\pi}{180}$,        h) $\frac{3\pi}{4}-0,05$.

27. $\Delta V = 4\pi r^2 \Delta r$.

28. $0,05 \%$.

29. a) asi $24,8$ cm,         b) $\Delta T = 0,02$ s.

30.
a) aj b) $T_4(x) = 5x^4 - 4x^2 + 11x - 9$,
c) $T_4(x) = \frac{x^4}{384}-\frac{x^3}{48}+\frac{x^2}{8}-\frac{x}{2}+1$,
d) $T_5(x) = -\frac{x^5}{5}- \frac{5x^4}{4}+\frac{10x^3}{3}-5x^2+5x-\frac{137}{60}$,
e) $T_4(x) = -\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^3}{32}- \frac{35x^2}{64}+\frac{35x}{32}+\frac{35}{128}$,
f) $T_3(x) = \frac83 x^3 + 2(1-\pi)x^2 + (\frac{\pi^2-2\pi+4}{2})x + 1 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^3}{24}$,
g) $T_3(x) = - \frac{x^3}{3} + x$.

32. $T_5(x) = \frac25 x^5 + \frac23 x^3 + 2x$.

33. $\frac{842}{1215} \approx 0,693147$.

34. $\frac{225}{64}$.

35. a) $8,3654$,        b) $8,519$,        c) $9,8995$,         d) $1,9953$,
e) $6,0181$,        f) $0,4848$        g) $0,9657$,         h) $2.3036$.

36.
a) Funkcia je rastúca v intervaloch $(-\infty,-1)$ a $(1,\infty)$, klesajúca v intervale $(-1,1)$, má lokálne maximum v bode $-1$, lokálne minimum v bode $1$, je konvexná v intervale $(0,\infty)$, konkávna v intervale $(-\infty,0)$,
b) funkcia je rastúca v intervaloch $(-\infty,-\frac83)$ a $(0,\infty)$, klesajúca v intervaloch $(-\frac83,-\frac43)$ a $(-\frac43,0)$, má lokálne maximum v bode $-\frac83$, lokálne minimum v bode $0$, je konvexná v intervale $(-\frac43,\infty)$, konkávna v intervale $(-\infty,-\frac43)$,
c) funkcia je rastúca v intervaloch $(-5,-\frac12)$ a $(4,\infty)$, klesajúca v intervaloch $(-\infty,-5)$ a $(-\frac12,4)$, má lokálne maximum v bode $-\frac12$, lokálne minimum v bodoch $-5$ a $4$, je konvexná v intervaloch $(-\infty,-5)$ a $(4,\infty)$, konkávna v intervale $(-5,4)$,
d) funkcia je rastúca v intervale $(-\infty,0)$, klesajúca v interval $(0,\infty)$, má lokálne maximum v bode $0$, je konvexná v intervaloch $(-\infty,-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{7}}{3}})$ a $(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{7}}{3}},\infty)$, konkávna v intervale $-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{7}}{3}},\sqrt{\frac{-1+\sqrt{7}}{3}}$,
e) funkcia je rastúca v intervale $(1,\infty)$, klesajúca v intervale $(-\infty,0)\cup(0,1)$, má lokálne minimum v bode $1$, je konvexná v intervale $(0,\infty)$ a konkávna na intervale $(-\infty,0)$,
f) funkcia je rastúca v intervale $(0,\infty)$, klesajúca v intervale $(-\infty,0)$, má lokálne minimum v bode $0$, je konvexná v intervale $(-1,1)$, je konkávna v intervaloch $(-\infty,-1)$ a $(1,\infty)$,
g) funkcia je klesajúca v intervaloch $(-\infty,-1)$, $(-1,0)$ a $(0,\infty)$, nemá lokálne extrémy, je konvexná v intervaloch $(-1,-\frac12)$ a $(0,\infty)$, je konkávna v intervaloch $(-\infty,-1)$ a $(-\frac12,0)$,
h) funkcia je rastúca v intervale $(0,\infty)$, klesajúca v intervale $(-\infty,0)$, má lokálne minimum v bode $0$, je konkávna v intervaloch $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$,
i) funkcia je rastúca v intervale $(\frac{1}{e},\infty)$, klesajúca v intervale $(0,\frac{1}{e})$, má lokálne minimum v bode $\frac{1}{e}$, je konvexná v intervale $(0,\infty)$,
j) funkcia je rastúca v intervale $(-1,0)$, klesajúca v intervale $(0,1)$, má lokálne maximum v bode $0$, je konkávna v intervale $(-1,1)$.

37. Návod: Uvažujte funkciu $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$.

38.
a) Maximum $\frac14$ v bode $\frac32$, minimum $-2$ v bodoch $0$ a $3$,
b) maximum $28$ v bode $-5$, minimum $0$ v bodoch $-\frac32$ a $-1$,
c) maximum $16$ v bode $3$, minimum $-25$ v bode $2$,
d) maximum $3$ v bode $0$, minimum $\sqrt{5}$ v bodoch $-1$ a $1$,
e) maximum $1$ v bode $1$, minimum $2-\ln 4$ v bode $2$,
f) funkcia má maximum asi $5,325$ v bode asi $0,647$, minimum nenadobúda,
g) funkcia je rastúca v otvorenom intervale, preto nenadobúda maximum ani minimum,
h) maximum nenadobudne, minimum $\frac{1}{e}$ v bode $0$.

39. $20$ cm.

40. a) $V_{max} = \frac{4\pi}{27}r^2v$,        b) $S_{max}=\frac{\pi r v^2}{2(v-r)}$ ak $v>r$, $2\pi r^2$ inak.

41. $80000\ m^2$.

42. Približne $21,5\ km/h$.

43. $3888\ cm^3$.

44. $7500$ kusov. Maximálny zisk je $582500$ Sk.

45. Stihne to približne za štvrť hodiny.
46. $n = 2$.

47. Napríklad $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

48.
a) Áno, napríklad $y=\frac{1}{x},\ x \in (0,\infty)$, b) nie, ak má druhú deriváciu,tak v lokálnom minime je funkcia konvexná
c) áno, napríklad $y = x^3 - x$,
d) áno, napríklad $y = \mbox{arctg}\,x$,
e) áno, napríklad $y = x^4 + x^2$.

53. $x\in (1,2)$

54. $x\in (1,2)$

56.
a) 0,347296 a -1,87938 a 1,53208.
b) 1,1469 a -1,8414
c) -1,34997 a 0,806465
d) 0,934833

57.
a) -0,567143
b) 1,26716

58. $x_1=0,3$ a $x_2=0,5$, chyba je menšia ako $0,25$

59. $x_3 = 0,5125$, teda 3 kroky

60. $x_8 = 1,64293$

61. $x_5 = 1,64291$, chyba menšia ako $0,0002$

62. riešenie je $0,567143$, a) nekonverguje, b) konverguje pomaly, c) konverguje rýchlo

63. a) 0,213308
b) 0
c) 0,43843

64. 4,83228

65. 4,49340; 7,72525

66. $x_2 = 1,95646$

67. $x_5 = 0,450180$

68. $x_6 = 1,76629$