Priebeh funkcie

Zisťovanie priebehu funkcie spočíva v popise jej vlastností a načrtnutí jej grafu. Postup by mal obsahovať:

1. Definičný obor funkcie;
2. vlastnosti symetrie: párnosť, nepárnosť, periódu;
3. významné body, napríklad nulové body funkcie, body nespojitosti, (v nich treba určiť jednostranné limity), body, v ktorých neexistuje derivácia alebo je nespojitá a pod.;
4. asymptoty grafu funkcie;
5. intervaly monotónnosti funkcie a jej lokálne extrémy;
6. intervaly, kde je funkcia konvexná, konkávna a jej inflexné body;
7. náčrtok grafu funkcie.

V nasledujúcich príkladoch ponechávame niektoré výpočty a úvahy na čitateľa.

Príklad 36. Zistíme priebeh funkcie $y = \frac{2x^3}{x^2-1}$.

Riešenie:

1. Definičný obor funkcie je množina $(-\infty,-1) \cup (-1,1) \cup (1,\infty)$.
2. Počítame
   
   $$y(-x) = \frac{2(-x)^3}{(-x)^2-1} = -\frac{2x^3}{x^2-1} = -y(x),$$
   
   
   funkcia je nepárna, nie je periodická.
3. Funkcia je spojitá, jediný nulový bod funkcie je bod $0$.
4. Asymptoty grafu funkcie bez smernice sú priamky $x=-1$ a $x = 1$, lebo jednostranné limity v nich sú nevlastné. Počítame asymptoty so smernicou:
   
   $$k = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = 2.$$
   
   
   
   
   $$q = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^3 - 2x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2-1} = 0.$$
   
   
   Vzhľadom na nepárnosť funkcie existuje jediná asymptota jej grafu so smernicou: $y = 2x$.
5. Intervaly monotónnosti funkcie určíme pomocou prvej derivácie $y'(x)=\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$. Analýza znamienok derivácie vedie k výsledku (pozor na nesúvislosť definičného oboru!):

   Funkcia je rastúca v intervaloch $(-\infty,-\sqrt{3}),\ (\sqrt{3},\infty)$,

   funkcia je klesajúca v intervaloch $(-\sqrt{3},-1),\ (-1,1),\ (1,\sqrt{3})$.

   Lokálne extrémy funkcie sú v bodoch, kde funkcia mení rast na klesanie alebo naopak. Pretože body $\pm 1$ nie sú v jej definičnom obore, jediné jej extrémy sú:

   Funkcia má lokálne maximum $-3\sqrt{3}$ v bode $-\sqrt{3}$.

   Funkcia má lokálne minimum $3\sqrt{3}$ v bode $\sqrt{3}$.

   Všimnite si, že lokálne minimum môže byť väčšie ako lokálne maximum!
6. Intervaly, kde je funkcia konvexná, konkávna určíme pomocou druhej derivácie $y''(x) = \frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$. Analýza znamienok druhej derivácie vedie k výsledku:

   Funkcia je konvexná v intervaloch $(-1,0),\ (1,\infty)$,

   funkcia je konkávna v intervaloch $(-\infty,-1),\ (0,1)$.

   Funkcia mení charakter konvexnosti a konkávnosti v jedinom bode definičného oboru.

   Funkcia má jediný inflexný bod v bode $0$.

7. Náčrtok grafu funkcie.

   Obrázok: Graf funkcie $y = \frac{2x^3}{x^2-1}$

   

$\clubsuit$

Príklad 37. Zistíme priebeh funkcie $y = \ln \frac{1+x}{1-x}$.

Riešenie:

1. Definičný obor funkcie je interval $(-1,1)$.
2. Počítame
   
   $$y(-x) = \ln\ \frac{1-x}{1+x} = \ln\ \left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^{-1} = -\ln\ \frac{1+x}{1-x} = -f(x).$$
   
   
   Funkcia je nepárna, nie je periodická.
3. Funkcia je spojitá v definičnom obore, jediný nulový bod je bod $0$.
4. Graf funkcie má asymptoty bez smernice $x=-1$ a $x = 1$ v krajných bodoch definičného oboru, lebo $\lim_{x \rightarrow 1^-} \ln\left( \frac{1+x}{1-x}\right) = \infty$ a $\lim_{x \rightarrow -1^+} \ln\left( \frac{1+x}{1-x}\right) = -\infty$. Asymptoty so smernicou nemá z dôvodu ohraničenosti svojho definičného oboru.
5. Derivácia funkcie $y'(x) = \frac{2}{1-x^2}$ je kladná v celom definičnom obore, preto

   funkcia je rastúca, nemá lokálne extrémy.

6. Znamienko druhej derivácie $y''(x) = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$ je zhodné so znamienkom $x$ a mení sa v bode $0$. Preto

   Funkcia je konvexná v intervale $(0,1)$, je konkávna v intervale $(-1,0)$ a má jediný inflexný bod v bode $0$.

7. náčrtok grafu funkcie.

   Obrázok: Graf funkcie $y = \ln \frac{1+x}{1-x}$

   

$\clubsuit$

Príklad 38. Zistíme priebeh funkcie $y = e^{\sin x}$.

Riešenie:

1. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel ${\bf R}$.
2. Počítame
   
   $$y(-x) = e^{\sin (-x)} = e^{-\sin x} = \frac{1}{e^{\sin x}}.$$
   
   
   Táto hodnota nie je rovná ani jednej z hodnôt $\pm y(x)$, preto funkcia nie je párna ani nepárna. Je periodická s periodou $2\pi$.
3. Funkcia je spojitá, nemá nulové body.
4. Z dôvodu spojitosti nemá graf funkcie asymptoty bez smernice, keďže je periodická, nemá graf ani asymptoty so smernicou.
5. Prvá derivácia $y'(x) = \cos x\ e^{\sin x}$ má znamienko zhodné so znamienkom funkcie $\cos$. Preto

   funkcia rastie v intervaloch $(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ a

   klesá v intervaloch $(\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$,

   funkcia má lokálne maximá $e$ v bodoch $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ a

   funkcia má lokálne minimá $\frac{1}{e}$ v bodoch $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$,

   kde $k$ je ľubovoľné celé číslo.
6. Druhá derivácia funkcie $y''(x) = e^{\sin x}(1 - \sin x - \sin^2\ x)$ má znamienko zhodné so znamienkom výrazu v zátvorke. Výpočet nulových bodov tohoto výrazu je možné vykonať len približne. Dostávame:

   funkcia je konvexná v intervaloch $((-1,212 + 2k)\pi,(0,212 + 2k)\pi)$,

   funkcia je konkávna v intervaloch $((0,212 + 2k)\pi,(0,788 + 2k)\pi)$ a

   má inflexné body v bodoch $(0,212 + 2k)\pi$ a $(0,788 + 2k)\pi)$,

   kde $k$ je ľubovoľné celé číslo.
7. náčrtok grafu funkcie.

   Obrázok: Graf funkcie $y = e^{\sin x}$

   

$\clubsuit$