Extrémy funkcie

Funkcia $f$ má v bode $a$ lokálne maximum (minimum), ak existuje také okolie $U$ bodu $a$, že pre všetky $x \in U -\{a\}$ platí $f(x) < f(a)\ (f(x) > f(a))$. Lokálne maximá a minimá funkcie voláme spoločným názvom lokálne extrémy. Pri určovaní lokálnych extrémov funkcie používame nasledujúce tvrdenie.

Ak má funkcia $f$ v bode $a$ lokálny extrém a $f'(a)$ existuje, tak $f'(a) = 0$. Ak naviac $f''(a) < 0\ (f''(a) > 0)$, tak $f$ má v bode $a$ lokálne maximum (minimum).

Body, v ktorých má derivácia funkcie nulovú hodnotu voláme stacionárne body funkcie.
Poznamenajme, že funkcia môže mať stacionárne body aj v bodoch, v ktorých nemá lokálny extrém, napríklad funkcia $y=x^3$ v bode $0$.
Pri určovaní lokálneho extrému môžeme namiesto druhej derivácie použiť aj fakt, že

funkcia $f$ má lokálne maximum v bode $a$, ak je rastúca v niektorom ľavom okolí bodu $a$ a klesajúca v niektorom pravom okolí bodu $a$.

Analogické tvrdenie platí pre lokálne minimá.
Pri určovaní lokálnych extrémov postupujeme tak, že najskôr určíme všetky body, v ktorých derivácia je rovná $0$ alebo derivácia neexistuje a potom z nich vyberieme tie, ktoré sú lokálnymi extrémami.
V praxi je často potrebné určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie v niektorom intervale $\langle a,b\rangle$. Postupujeme nasledovne.

1. Určíme všetky lokálne maximá funkcie v intervale $(a,b)$.
2. Nájdeme najväčšiu z hodnôt všetkých lokálnych maxím a hodnôt v krajných bodoch intervalu: $f(a)$ a $f(b)$.

Analogicky postupujeme pri určovaní najmenšej hodnoty.

Príklad 32. Určíme lokálne extrémy funkcií $y = \frac{x^3}{3} - x^4$, $y = 1 - \vert 1 - x\vert$, $y = \ln\ x + \frac{1}{x}$.

Riešenie:

b )

Funkcia je definovaná a má deriváciu $y' = x^2 - 4x^3$ pre všetky $x \in {\bf R}$. Preto môže nadobúdať lokálne extrémy len v stacionárnych bodoch, t.j. v riešeniach rovnice $x^2 - 4x^3 = 0$. Táto rovnica má dve riešenia $x_1 = 0$ a $x_2 = \frac14$. Na určenie, či ide skutočne o extrém a o aký typ extrému ide, použijeme druhú deriváciu $y'' = 2x - 12x^2$ a jej hodnoty v stacionárnych bodoch. Hodnota $y''(0) = 0$ nedáva informáciu, hodnota $y''(\frac14) = \frac12 - \frac34 < 0$ rozhoduje o tom, že funkcia má lokálne maximum $\frac{1}{32}$ v bode $\frac14$. Pre určenie povahy bodu $0$ použijeme intervaly monotónnosti: funkcia je rastúca aj v ľavom aj v pravom okolí bodu $0$ (overte!), preto nemá v tomto bode lokálny extrém.

c )

Daná funkcia je rovná funkcii $y=x$ a má deriváciu $y' = 1$ v intervale $(-\infty,1)$ a rovná sa funkcii $y = 2 - x$ a má deriváciu $y' = -1$ v intervale $(1,\infty)$. Preto v žiadnom bode z týchto intervalov nemôže mať lokálny extrém (odôvodnite!). V samotnom bode $1$ funkcia nemá deriváciu, napriek tomu má v tomto bode lokálne (aj absolútne) maximum rovné $1$, pretože "naľavo" od neho rastie a "napravo" od neho klesá.

d )

Definičný obor funkcie je množina $D = (0,\infty)$. Derivácia funkcie $y' = \frac{x-1}{x^2}$ je nulová jedine v bode $x = 1$. Druhá derivácia $y'' = \frac{2-x}{x^3}$ je v tomto bode rovná 1, preto má funkcia v tomto bode lokálne minimum.

$\clubsuit$

Príklad 33. Zistíme najmenšie a najväčšie hodnoty

b )

funkcie $y = x^3 - 6x^2 + 7$ v intervale $\langle -1,2 \rangle$,

c )

funkcie $y = 2x + \cos 2x$ v intervale $\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle$,

d )

funkcie $y = 3-e^{\vert x\vert}$ v intervale $\langle -2,3)$.

Riešenie:

b )

Funkcia má deriváciu v každom bode intervalu, preto lokálne extrémy môžu byť len v jej stacionárnych bodoch. Tie sú určené rovnicou $3x^2 - 12x = 0$, t.j. $x_1 = 0$ a $x_2 = 4$. Z nich do daného intervalu patrí len $x_1 = 0$. Test pomocou druhej derivácie potvrdí lokálne maximum funkcie v tomto bode. Na extrémne hodnoty máme teda troch kandidátov: $f(0) = 7$, $f(-1) = 0$ a $f(2) = -9$. Najmenšou hodnotou funkcie v danom intervale je preto hodnota $-9$ nadobudnutá v bode $2$ a najväčšou hodnota $7$ nadobudnutá v bode $0$.

c )

Funkcia má deriváciu v každom bode intervalu, preto lokálne extrémy môžu byť len v jej stacionárnych bodoch. Tie sú určené rovnicou $2 - 2\sin 2x = 0$, ktorej riešením v danom intervale je jediné číslo $x = \frac{\pi}{4}$. Ďalej postupujeme podobne ako v predchádzajúcej časti. Najmenšou hodnotou v danom intervale je hodnota $-\pi - 1$ a najväčšou hodnota $\pi - 1$.

d )

Pre $x > 0$ je $y = 3 - e^x$ a $y' = -e^x < 0$. Pre $x < 0$ je $y = 3 - e^{-x}$ a $y' = e^{-x} > 0$. Znamienka derivácie určujú, že v bode $0$ (neexistuje v ňom derivácia - odôvodnite!) má funkcia najväčšiu hodnotu $f(0) = 2$ Najmenšiu hodnotu môže nadobudnúť len v krajných bodoch intervalu, z ktorých jeden do intervalu nepatrí. Platí

$$f(-2) = 3 - e^2 > f(3) = 3 - e^3.$$

Pretože funkcia je spojitá, v intervale $\langle -2,3)$ nenadobudne najmenšiu hodnotu (odôvodnite).

$\clubsuit$

Príklad 34. Aké rozmery má mať konzerva objemu $1$ liter v tvare valca, aby sme na jej výrobu spotrebovali čo najmenej materiálu?

Riešenie: Označme $r$ polomer podstavy a $h$ výšku konzervy v decimetroch. Množstvo spotrebovaného materiálu je priamo úmerné povrchu $S = 2\pi r(r + h)$ konzervy, preto hľadáme jeho minimálnu hodnotu. Pre objem konzervy platí $V = \pi r^2h$, preto medzi neznámymi veličinami platí vzťah $h = \frac{1}{\pi r^2}$. Po jeho dosadení do vzťahu pre povrch a úprave dostávame povrch konzervy ako funkciu polomeru podstavy $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2}{r}$. Hľadáme teda najmenšiu hodnotu tejto funkcie v intervale $(0,\infty)$ (to sú všetky možné hodnoty polomeru podstavy). Počítame deriváciu

$$S'(r) = 4\pi r - \frac{2}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2}{r^2}.$$

Derivácia existuje v každom bode intervalu, interval neobsahuje koncové body, preto jediná možnosť minimálnej hodnoty funkcie je v stacionárnych bodoch. Ten existuje jediný $r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}$. Druhá derivácia potvrdí, že ide skutočne o minimum (overte!). Dosadením tejto hodnoty $r$ dostaneme aj hodnotu pre výšku $h = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}$. $\clubsuit$

Príklad 35. Nosnosť pravouhlého trámu je priamo úmerná jeho šírke násobenej druhou mocninou jeho výšky. Aké rozmery máme zvoliť, ak sekáme trám z valcovitého kmeňa s priemerom $1$ meter, aby sme dosiahli maximálnu nosnosť?

Riešenie: Označme $s$ a $v$ rozmery šírky a výšky trámu v metroch. Jeho nosnosť je určená vzťahom $N = c.s.v^2$, kde $c$ je kladná konštanta. Keďže trám je vysekaný z valca s priemerom $1$ meter, pre veličiny $s$ a $v$ platí vzťah $s^2 + v^2 = 1$. Vyjadrením $v^2$ a dosadením do vzťahu pre nosnosť dostaneme funkciu $N(s) = c.s.(1 - s^2)$. Hľadáme jej najmenšiu hodnotu v intervale $(0,1)$. Derivácia $N'(s) = c(1 - 3s^2)$ existuje pre každé $s$ z daného intervalu a je nulová v jedinom $s = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Druhá derivácia potvrdí, že ide o najväčšiu hodnotu. Nosnosť trámu je preto najväčšia, ak volíme šírku $\frac{\sqrt{3}}{3}$ metrov a výšku $\frac{\sqrt{6}}{3}$ metrov. $\clubsuit$