L'Hospitalovo pravidlo

Nech

1. $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$,
2. v istom okolí čísla $a$ majú obidve funkcie $f$ a $g$ deriváciu,
3. existuje $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Potom existuje aj $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ a platí

$$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Užitočnosť tohoto pravidla vynikne ešte viac, ak si uvedomíme, že limity "typov $\frac{\infty}{\infty}$, $0.\infty$, $\infty-\infty$, $1^{\infty}$, $\infty^0$, $0^0$" môžeme pomocou úprav previesť na limitu "typu $\frac00$".

Príklad 27. Pomocou L'Hospitalovho pravidla vypočítame niekoľko limít. Pri počítaní každej limity samostatne overte predpoklady použitia pravidla.

Riešenie:
Typ $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x}{1} = 1.$$

Typ $\frac{\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\log_a\ x}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x\ln\ a}}{1} = 0.$$

Typ $0.\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow 0^+}x\ln\ x = \lim_{x \rightarrow 0^+}\f... ...\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0^+}-x = 0.$$

Niekedy používame L'Hospitalovo pravidlo viackrát za sebou.
Typ $\infty-\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln\ x}-\frac{1}{x-1}\r... ...)= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - 1 - \ln\ x}{(x-1)\ln\ x} =$$

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - \frac{1}{x}} {\ln\ x + \fra... ... \frac{\frac{1}{x^2}} {\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac12.$$

Typ $1^{\infty}$: (použijeme rovnosť $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}$ )

$$\lim_{x \rightarrow 0}(\cos 2x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \r... ...{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{2x}} =$$

$$e^{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\sin 2x}{x}. \lim_{x \righta... ...x \rightarrow 0}\frac{-2\cos 2x}{1}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}.$$

Pozor na nesprávne použitie L'Hospitalovho pravidla:

$$\lim_{x \rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}... ..._{x \rightarrow 0^+} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = -\infty.$$

Nájsť chybu v tomto postupe a opraviť ju necháme na čitateľa. $\clubsuit$