Derivácia implicitnej funkcie

Niekedy rovnica $F(x,y) = 0$ určuje funkčný vzťah medzi veličinami $x$ a $y$. Takúto funkciu voláme funkcia určená implicitne rovnicou $F(x,y) = 0$. Ak funkcia určená implicitne má deriváciu v niektorej množine, tak túto môžeme vypočítať aj bez explicitného vyjadrenia funkcie $f$. Postupujeme pri tom tak, že derivujeme obidve strany rovnice, pričom ľavú stranu derivujeme ako zloženú funkciu $F(x,y(x))$. Tento postup je veľmi užitočný najmä v situáciách, keď veličinu $y$ nie sme schopní z rovnice vyjadriť.

Príklad 12. Rovnica $x^2 + y^2 = 1$ určuje dve funkcie $f_1: y = \sqrt{1-x^2}$ a $f_2: y = -\sqrt{1-x^2}$. Vypočítame ich derivácie bez pomoci tohoto explicitného vyjadrenia.

Riešenie: Derivujeme obidve strany rovnice $x^2 + y^2 = 1$, pričom si uvedomujeme, že $y$ je funkcia premennej $x$. Dostávame

$$2x + 2y.\frac{dy}{dx} = 0$$

a po vyjadrení hľadanej derivácie

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Porovnajme tento vzťah s deriváciou napríklad funkcie $f_2$. Túto derivujeme ako zloženú funkciu z funkcií $1-x^2$ a $-(\ )^{\frac{1}{2}}$. Dostávame

$$f_2'(x) = - \frac12 (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}.(-2x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},$$

čo sa zhoduje s deriváciou vypočítanou implicitne pre $f_2: y = -\sqrt{1-x^2}$.

Príklad 13. Nájdime deriváciu funkcie určenej implicitne rovnicou

$$x^5 + 4xy^3 - y^5 - 2 = 0.$$

Riešenie: Derivovaním obidvoch strán dostávame $5x^4 + 4(y^3 + x.3y^2\frac{dy}{dx}) - 5y^4\frac{dy}{dx} = 0$, a po vyjadrení derivácie $\frac{dy}{dx} = \frac{5x^4+4y^3}{5y^4-12xy^2}$. $\clubsuit$