Absolútna hodnota reálneho čísla

Nech $a\in {\bf R}$. Absolútnu hodnotu čísla $a$ označujeme $\vert a\vert$ a rozumieme ňou číslo

$$\vert a\vert =a, \hbox{ ak } a \geq 0;$$

$$\ \ \vert a\vert = -a, \hbox{ ak } a<0.$$

Nech $a,b$ sú reálne čísla. Potom platí:

1. $\vert a\vert = \max \{ a, -a\}$
2. $\vert a\vert = \vert-a\vert$
3. $a \leq \vert a\vert$
4. $\vert a\vert = \sqrt{ a^2}$
5. $\vert ab\vert = \vert a\vert \vert b\vert$
6. $\vert a^n\vert = \vert a\vert^n$, pre každé prirodzené číslo $n$
7. $\vert \frac{a}{b}\vert =\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}\ \ ( b \neq 0)$
8. $\vert a+b\vert \leq \vert a\vert+ \vert b\vert$ ( trojuholníková nerovnosť )
9. $\vert a\vert -\vert b\vert \leq \vert a \pm b\vert \leq \vert a\vert+\vert b\vert$

Geometrický význam absolútnej hodnoty reálneho čísla $a$ je vzdialenosť obrazu čísla $a$ na číselnej osi od začiatku. Vzdialenosť bodu $a$ od bodu $b$ na číselnej osi je preto $\vert b-a\vert$.

Príklad 17. Riešme rovnicu:

$$\vert x+3\vert =\frac{1}{5}.$$

Riešenie: Najskôr rovnicu upravíme tak, aby neobsahovala absolútnu hodnotu. Uvažujeme dva prípady:
a) $x+3 \geq 0$, potom $\vert x+3\vert =x+3$ a daná rovnica je ekvivalentná so systémom

$$x+3 \geq 0$$ (1.9)

$$x+3 = \frac{1}{5}.$$ (1.10)

Riešením nerovnice (1.9) je interval $\langle -3,\infty)$. Riešením rovnice (1.10) je číslo $x=-\frac{14}{5}$. Preto riešením systému (1.9), (1.10) je prienik týchto množín: $\langle -3,\infty) \cap \{ -\frac{14}{5} \} = \{ -\frac{14}{5} \}$.
b) $x+3 <0$, potom $\vert x+3\vert =-(x+3)$ a daná rovnica je ekvivalentná so systémom

$$x+3 < 0$$ (1.11)

$$-(x+3) = \frac{1}{5}.$$ (1.12)

Riešením nerovnice (1.11) je interval $(-\infty,-3)$. Riešením rovnice (1.12) je číslo $x=-\frac{16}{5}$. Preto riešením systému (1.11), (1.12) je prienik týchto množín: $(-\infty,-3) \cap \{ -\frac{16}{5} \} = \{ -\frac{16}{5} \}.$
Riešením danej rovnice sú teda čísla $-\frac{14}{5}, -\frac{16}{5}$. $\clubsuit$

Príklad 18. Riešme nerovnicu:

$$\vert x+1\vert < \vert x+3\vert$$ (1.13)

Riešenie: Keďže množina všetkých riešení je podmnožinou reálnych čísel, budeme uvažovať všetky možné prípady, ktoré môžu nastať. Sú to tieto štyri:

$$\hbox{a) }x+1 \geq 0 \hbox{ a } x+3 \geq 0 ,$$

$$\hbox{b) }x+1 < 0 \hbox{ a } x+3 < 0 ,$$

$$\hbox{c) }x+1 \geq 0 \hbox{ a } x+3 < 0 ,$$

$$\hbox{d) }x+1 < 0 \hbox{ a } x+3 \geq 0 .$$

pre prípad a) platí: $\vert x+1 \vert =x+1, \ \vert x+3\vert=x+3.$ Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom nerovníc

$$x+1 \geq 0$$

$$x+3 \geq 0$$

$$x+1 < x+3.$$

Riešením tohoto systému sú všetky čísla $x$, pre ktoré platí súčasne $x \geq -1, x \geq -3$ (tretia nerovnica je splnená pre ľubovoľné reálne číslo). Riešením je teda prienik intervalov $\langle -1, \infty) \cap \langle -3, \infty) = \langle -1, \infty).$
V prípade b) platí: $\vert x+1\vert =-(x+1), \ \vert x+3 \vert = -(x+3).$ Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom nerovníc

$$x+1 < 0$$

$$x+3 < 0$$

$$-(x+1) <-( x+3).$$

čiže

$$x<-1 , \ x< -3,\ -1 < -3.$$

Keďže riešením poslednej nerovnice je $\emptyset$, celý uvedený systém nemá riešenie.
V prípade c) platí: $\vert x+1\vert =x+1, \ \vert x+3\vert = -(x+3).$ Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom

$$x+1 \geq 0$$

$$x+3 < 0$$

$$x+1 <-( x+3).$$

Riešením tohoto systému sú všetky čísla $x$, pre ktoré platia súčasne všetky tri nerovnice: $x \geq -1,\ x<-3, x<-2;$ to jest prienik intervalov $\langle -1,\infty)\cap (-\infty,-3) \cap (-\infty, -2) =\emptyset.$ V tomto prípade teda systém nemá riešenie.
V prípade d) platí: $\vert x+1\vert =-(x+1), \ \vert x+3\vert = x+3.$ Nerovnica (1.13) je ekvivalentná so systémom

$$x+1 < 0$$

$$x+3 \geq 0$$

$$-(x+1) < x+3.$$

Riešením tohoto systému sú všetky čísla $x$, pre ktoré súčasne platí: $x < -1,\ x \geq -3, x>-2;$ to jest prienik intervalov $(-\infty,-1) \cap \langle -3,\infty) \cap (-2,\infty) =(-2,-1).$ Riešením nerovnice (1.13) je zjednotenie intervalov $\langle -1, \infty)\cup(-2,-1)= (-2, \infty).$ $\clubsuit$