Postupnosti

Postupnosť je reálna funkcia, ktorej definičný obor je množina prirodzených čísel. Preto môžeme na postupnosti aplikovať všetky definície a tvrdenia o funkciách.
Čo sa týka limít, môžu existovať len limity v nevlastnom bode $\infty$ (prečo ?) a preto hovoríme o konvergentnej alebo divergentnej postupnosti bez nutnosti určenia bodu. Limity postupností počítame tak ako limity funkcií v nevlastnom bode $\infty$. Používame pritom nasledujúce pravidlo:

Nech $f$ je taká funkcia, že pre každé $n \in {\bf N}$ platí $f(n) = a_n$ a $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)$ existuje. Potom existuje aj $\lim_{n \rightarrow \infty}a_n$ a obidve limity sa rovnajú.

Poznamenajme, že opačné pravidlo neplatí. Napríklad postupnosť $\{\sin 2\pi n\}_{n=1}^{\infty}$ je konštantná a preto má limitu $0$, avšak príslušná funkcia $y = \sin 2\pi x$ je periodická a preto nemá limitu v nevlastnom bode $\infty$. Naviac pre limity postupností platia nasledujúce dve dôležité vlastnosti:

1. Ak je postupnosť konvergentná, tak je ohraničená.
2. Každá rastúca zhora ohraničená postupnosť je konvergentná.

Dá sa ukázať, že postupnosť $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ je rastúca a zhora ohraničená a preto má limitu. Táto limita sa označuje symbolom $e$, volá sa základ prirodzeného logaritmu a má v matematike veľký význam. Číslo $e$ je iracionálne a jeho hodnota je približne $2,71828$. Teda

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = e \approx 2,71828.$$

Dá sa ukázať, že všeobecnejšie platí:
Nech

$$\lim_{x \rightarrow p} f(x) = \infty.$$

Potom

$$\lim_{x \rightarrow p} \left( 1+\frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e$$

a

$$\lim_{x \rightarrow p} \left( 1-\frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = \frac{1}{e}.$$

Príklad 32. Vypočítajme limity $L = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^3-1}{51n^2+102n+1998}$,
$M = \lim_{n \rightarrow \infty}\log_4\ \frac{n^3-1}{16n^3+102n+1998}$.

Riešenie: Podľa pravidla uvedeného v tejto časti a na základe limít v časti 6.6.4 je

$$L = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^3-1}{51x^2+102x+1998} = \infty.$$

Podobne

$$M = \lim_{x \rightarrow \infty} = \log_4\ \frac{n^3-1} {16n^3+102n+1998} = \log_4\ \frac{1}{16} = -2.$$

$\clubsuit$

Príklad 33. Vypočítajme limity $K = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}$, $L = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}$.

Riešenie: Pretože $0 < \frac{n!}{n^n} < \frac{1}{n}$ (odôvodnite!), platí

$$0 \leq K \leq \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0$$

teda $K = 0$ a

$$L = \lim_{n \rightarrow \infty}n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \... ... = e^{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\ln\ n}{n}} = e^0 = 1.$$

$\clubsuit$

Príklad 34. Vypočítajme limity $K = \lim_{n \rightarrow \infty}n.\mbox{tg}\,\frac{1}{n}$,
$L = \lim_{n \rightarrow \infty}n\cos\ \frac{1}{n}$, $M = \lim_{n \rightarrow \infty} \mbox{arccotg}\,(n)$.

Riešenie: Pretože $n = \frac{1}{\frac{1}{n}}$, substitúciou $t = \frac{1}{n}$ dostávame

$$K = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{\mbox{tg}\,\ t}{t} = \lim_... ...in\ t}{t}. \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{\cos\ t} = 1.1 = 1.$$

$L$ je limita typu $1.\infty$, preto $L=\infty$.
Z vlastností a grafu funkcie $\mbox{arccotg}\,$ vidieť, že $M = 0$. $\clubsuit$

Príklad 35. Vypočítajme limity $K = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt{n+4}-\sqrt{n-4}$,
$L = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt{n+2}(\sqrt{n+4}-\sqrt{n})$.

Riešenie: Výraz $\sqrt{n+4}-\sqrt{n-4}$ je typu $\infty-\infty$, preto ho upravíme pomocou násobenia číslom $\frac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n-4}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n-4}}$ rovným $1$ a potom počítame

$$K = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{n+4}-\sqrt{n-4}). (\sqrt{n+4}+\sqrt{n-4})}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n-4}} =$$

$$= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{8}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n-4}} = 0.$$

Podobnou úpravou dostaneme

$$L = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt{n+2} \frac{4}{\sqrt{n... ...frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+\sqrt{1}} = 2.$$

$\clubsuit$

Príklad 36. Vypočítajme limity $J = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{\sqrt{n}}$,
$K = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n}$, $L = \lim_{x \rightarrow 0}(1+\mbox{tg}\,x)^{\mbox{cotg}\,x}$.

Riešenie: Taktikou pri riešení limít tohoto typu je previesť výraz na typ $\left(1 \pm \frac{1}{v}\right)^v$, ktorého limita je rovná $e^{\pm 1}$, ak $v$ je ľubovoľná premenná blížiaca sa k $\infty$.

$$J = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n+1}\right... ...e^{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}} = e^0 = 1.$$

$$K = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n+1}\right)... ...}} = e^{-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4n}{n+1}} = e^{-4}.$$

Funkciu, ktorej limitu počítame môžeme prepísať na tvar $\left(1+\frac{1}{\mbox{cotg}\,x}\right)^{\mbox{cotg}\,x}$. Bodeme počítať jednostranné limity, pretože tie sú v bode $0$ pre funkciu $\mbox{cotg}\,$ rovné $\pm \infty$. V prípade limity zľava preto použijeme substitúciu $t = -\mbox{cotg}\,x$.

$$L^- = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(1+\frac{1}{\mbox{cotg... ... \lim_{t \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t} =$$

$$= \left(\lim_{t \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{t}\right)^t \right)^{-1} = \left(e^{-1} \right)^{-1} = e.$$

Ten istý výsledok dostaneme pre limitu sprava substitúciou $t = \mbox{cotg}\,x$. Preto $L = e$. $\clubsuit$