Asymptoty grafu funkcie

Asymptotou grafu funkcie je priamka, ktorá sa grafu funkcie "dotýka v nekonečne". Rozoznávame dva druhy asymptôt grafu funkcie.
Priamka $y=r$ je asymptotou grafu funkcie $f$ bez smernice, ak funkcia $f$ má v bode $r$ (aspoň jednostrannú) nevlastnú limitu.
Priamka $y=px+q$ je asymptotou grafu funkcie $f$ so smernicou, ak
$\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x) - (px+q)] = 0$ alebo $\lim_{x \rightarrow -\infty} [f(x) - (px+q)] = 0$.
Pre praktické zisťovanie asymptôt grafu funkcie platia pravidlá:

1. Priamka $x=r$ je asymptotou grafu funkcie $f$ bez smernice, ak aspoň jedna z limít $\lim_{x \rightarrow r^-} f(x)$ alebo $\lim_{x \rightarrow r^+} f(x)$ je rovná buď $\infty$ alebo $-\infty$.
2. Priamka $y=px+q$ je asymptotou grafu funkcie $f$ so smernicou, ak $p = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$ a $q = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) - px$.

Príklad 30. Nájdime asymptoty grafov funkcií $e:\ y = \frac{2x^2-5x-1}{2-x}$, $f:\ y = \ln\ x$, $g:\ y = x 2^x$, $h:\ y = x cotg\ x$, $i:\ y = tgh\ x$,

Riešenie: Funkcia $e$ nie je definovaná v jedinom reálnom čísle $2$, preto jediná možná asymptota bez smernice je priamka $x = 2$. Počítajme $\lim_{x \rightarrow 2^-}e(x) = -\infty$, preto spomínaná priamka je asymptotou grafu $e$. Ďalej

$$p = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{e(x)}{x} = -2$$

(prečo?) a

$$q = \lim_{x \rightarrow \infty}(e(x)+2x) = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x-1}{2-x} = 1.$$

Priamka $y = -2x + 1$ je asymptotou grafu $e$. Tá istá priamka je aj asymptotou grafu $e$ v $-\infty$ (overte!). Poznamenajme, že asymptoty racionálnych funkcií môžeme počítať aj jednoduchšie prepísaním funkcie pomocou delenia mnohočlenov:

$$e(x) = 2x + 1 + \frac{3}{x-2}.$$

Z tohoto zápisu je vidieť, že priamka $y = 2x+1$ je jedinou asymptotou grafu $e$.
Funkcia $f$ je spojitá a $D(f) = (0,\infty)$. Naviac $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln\ x = -\infty$, preto priamka $x = 0$ je asymptotou grafu $f$. Ďalej $p = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\ln\ x}{x} = 0$ avšak $q = \lim_{x \rightarrow \infty}\ln\ x - 0.x = \infty$. Preto funkcia $f$ nemá asymptotu so smernicou.
Funkcia $g$ je spojitá v každom reálnom čísle, preto nemá asymptoty bez smernice. Ďalej

$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} 2^x = \infty$$

nie je vlastná a preto $g$ nemá asymptotu v $+\infty$. Na druhej strane

$$p = \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} 2^x = \lim_{t \rightarrow \infty} 2^{-t} = 0$$

a

$$q = \lim_{x \rightarrow -\infty}(g(x)-px) = \lim_{x \right... ...-\infty}x 2^x = \lim_{t \rightarrow \infty}-\frac{t}{2^t} = 0$$

(prečo?). Priamka $y = 0$ je asymptotou grafu funkcie $g$.
Funkcia $h$ nie je definovaná v číslach $k\pi,\ k \in {\bf Z}$ a vo všetkých okrem $0$ má nevlastné jednostranné limity (overte!). V čísle $0$ je

$$\lim_{x \rightarrow 0}h(x) = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin\ x} \cos\ x = 1.$$

Preto funkcia $h$ má nekonečne veľa asymptôt bez smernice určených rovnicami $x = k\pi,\ k \in {\bf Z},\ k \neq 0$. Funkcia $h$ osciluje pre $x \rightarrow \infty$ aj pre $x\rightarrow -\infty$, preto nemá asymptoty so smernicou.
Funkcia $i$ je spojitá vo všetkých reálnych číslach, preto nemá asymptoty bez smernice. Ďalej

$$p = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{i(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty}i(x) \frac{1}{x} = 0,$$

pretože $i$ je ohraničená funkcia a $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$. Potom

$$q = \lim_{x \rightarrow \infty}(i(x)-0.x) = \lim_{x \right... ...= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = 1.$$

Priamka $y = 1$ je asymptotou grafu funkcie $i$. Pretože funkcia $i$ je nepárna, je asymptotou aj priamka $y = -1$ (odôvodnite!). $\clubsuit$

Príklad 31. Ukážeme, že, ak má párna funkcia asymptotu $y=px+q$, tak má aj asymptotu $y = -px + q$.

Riešenie: Pretože graf párnej funkcie je symetrický podľa osi $o_y$, z predpokladu asymptoty $y=px+q$ vyplýva aj existencia asymptoty súmerne združenej s ňou podľa osi $o_y$. Touto je priamka $y = -px + q$ (overte!). $\clubsuit$