Racionálna funkcia

Racionálna funkcia je funkcia definovaná rovnicou

$$y=\frac{P(x)}{Q(x)},$$

kde $P$ a $Q$ sú polynómy. Jej definičný obor je množina všetkých čísel $r$, pre ktoré $Q(r) \neq 0$. V prípade, ak stupeň polynómu $P$ je menší ako stupeň polynómu $Q$, hovoríme o rýdzo racionálnej funkcii. Všeobecné vlastnosti a grafy racionálnych funkcií je ťažké popísať. Pri práci s nimi je často dôležité rozložiť danú racionálnu funkciu na súčet elementárnych (parciálnych) zlomkov. Pritom postupujeme podľa nasledujúceho návodu.

1. Vydelením mnohočlenov $P$ a $Q$ prepíšeme funkciu na súčet mnohočlena a rýdzo racionálnej funkcie.
2. Mnohočlen $Q$ v menovateli rozložíme na súčin koreňových činiteľov.
3. Ku každému činiteľu typu $(x-r)^k$ vytvoríme práve $k$ zlomkov $\frac{c_k}{(x-r)^k}$, $\frac{c_{k-1}}{(x-r)^{k-1}}$, ..., $\frac{c_1}{(x-r)}$.
4. Ku každému činiteľu typu $(x^2 + px + q)^l$ vytvoríme práve $l$ zlomkov $\frac{a_lx+b_l}{(x^2 + px + q)^l}$, $\frac{a_{l-1}x+b_{l-1}}{(x^2 + px + q)^{l-1}}$,
   ..., $\frac{a_1x+b_1}{(x^2 + px + q)}$.
5. Neznáme koeficienty vypočítame porovnaním rýdzo racionálnej časti a súčtu všetkých elementárnych zlomkov.
6. Pôvodná funkcia sa rovná súčtu mnohočlenu, ktorý sme dostali delením so súčtom všetkých elementárnych zlomkov.

Príklad 13. Rozložme na súčet elementárnych zlomkov funkciu $y = \frac{x^2}{x^4-1}$.

Riešenie: Postupujeme podľa návodu.

1. Pretože daná funkcia je rýdzo racionálna, prvú časť postupu vynecháme.
2. $x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)$,
3. vytvoríme elemntárne zlomky $\frac{c}{x-1}$, $\frac{d}{x+1}$,
4. a zlomok $\frac{ax+b}{x^2+1}$.
5. Porovnáme
   
   $$\frac{x^2}{x^4-1} = \frac{x^2}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{c}{x-1} + \frac{d}{x+1} + \frac{ax+b}{x^2+1} =$$
   
   
   
   
   $$\frac{c(x+1)(x^2+1) + d(x-1)(x^2+1) + (ax+b)(x-1)(x+1)} {(x-1)(x+1)(x^2+1)}.$$
   
   
   Pretože menovatele sa rovnajú, rovnajú sa aj čitatele a teda
   
   $$x^2 = c(x+1)(x^2+1) + d(x-1)(x^2+1) + (ax+b)(x-1)(x+1).$$
   
   
   Po roznásobení a úprave pravej strany dostávame rovnosť dvoch mnohočlenov
   
   $$0.x^3 + 1.x^2 + 0.x + 0 = (a+c+d)x^3 + (b+c-d)x^2 + (-a+c+d)x -b+c-d.$$
   
   
   Pretože dva mnohočleny sa rovnajú práve vtedy, ak majú zhodné všetky koeficienty, posledná rovnosť je ekvivalentná so sústavou lineárnych rovníc
   
   $$\begin{array}{rcrcrcrcr} a & & & + & c & + & d & = & 0 \\ ... ...+ & d & = & 0 \\ & - & b & + & c & - & d & = & 0, \end{array}$$
   
   
   ktorá má riešenie $a = 0,\ b = \frac12,\ c = \frac14,\ d = -\frac14$.
6. Preto platí
   
   $$\frac{x^2}{x^4-1} = \frac{\frac14}{x-1} - \frac{\frac14}{x+1} + \frac{\frac12}{x^2+1}.$$
   
   

$\clubsuit$

Príklad 14. Rozložme na súčet mnohočlena a elementárnych zlomkov funkciu $y = \frac{x^8 + x^2}{(x^3+1)(x+1)^2}$.

Riešenie:

1. Keďže nejde o rýdzo racionálnu funkciu, mnohočleny najskôr vydelíme. Dostaneme podiel $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ a zvyšok $7x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 7x + 5$. Preto
   
   $$\frac{x^8 + x^2}{(x^3+1)(x+1)^2} = x^3 - 2x^2 + 3x - 5 + \frac{7x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 7x + 5}{(x^3+1)(x+1)^2}$$
   
   
   Rýdzo racionálnu časť funkcie ďalej rozložíme na súčet elementárnych zlomkov.
2. Mnohočlen v menovateli rozložíme na súčin koreňových činiteľov pomocou rozkladu $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$, ktorého kvadratický činiteľ sa ďalej rozložiť nedá. Preto
   
   $$(x^3+1)(x+1)^2 = (x+1)^3(x^2-x+1),$$
   
   

3. vytvoríme elemntárne zlomky $\frac{a}{(x+1)^3}$, $\frac{b}{(x+1)^2}$, $\frac{c}{x+1}$
4. a zlomok $\frac{dx+e}{x^2-x+1}$.
5. Porovnáme
   
   $$\frac{7x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 7x + 5}{(x^3+1)(x+1)^2} = \frac{a... ...3} + \frac{b}{(x+1)^2} + \frac{c}{x+1} + \frac{dx+e}{x^2-x+1}.$$
   
   
   Po vynásobení menovateľom ľavej strany a úprave pravej strany dostávame rovnosť dvoch mnohočlenov
   
   $$7x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 7x + 5 =$$
   
   
   
   
   $$(c+d)x^4 + (b+c+3d+e)x^3 + (a+3d+3e)x^2 + (-a+c+d+3e)x + (a+b+c+e).$$
   
   
   Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách premennej $x$ dostávame sústavu lineárnych rovníc
   
   $$\begin{array}{rcrcrcrcrcr} & & & & c & + & d & & & = & 7 \\... ... &= & 7 \\ a & + & b & + & c & & & + & e & = & 5, \end{array}$$
   
   
   ktorá má riešenie
   
   $$a = \frac23,\quad b = \frac83,\quad c = \frac{61}{9},\quad d = \frac29,\quad e = \frac29.$$
   
   

6. Preto platí
   
   $$\frac{x^8 + x^2}{(x^3+1)(x+1)^2} = x^3 - 2x^2 + 3x - 5 + \fr... ... \frac{\frac{61}{9}}{x+1} + \frac{\frac29 x+\frac29}{x^2-x+1}.$$
   
   

$\clubsuit$

Najdôležitejší špeciálny typ racionálnej funkcie je