Štvorcové matice; pojem inverznej matice

Matica ${\bf A}=[a_{ij}]_{m\times n}$ sa nazýva štvorcová, ak $m=n$, t.j. ak má rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Medzi štvorcovými maticami významnú úlohu hrá matica, pre ktorú je $a_{ii}=1$ pre $1\le i\le n$, a $a_{ij}=0$ ak $i\ne j$; táto matica sa nazýva jednotková a označujeme ju ${\bf I}_n$. Jednotková matica má pri násobení matíc postavenie analogické číslu 1 pri násobení reálnych čísiel: ${\bf A}{\bf I}_n={\bf I}_n{\bf A}={\bf A}$.

Hovoríme, že štvorcová matica ${\bf A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ je regulárna, ak jej hodnost' je rovná $n$. V opačnom prípade (ak hodnost' je menšia ako $n$) sa matica ${\bf A}$ nazýva singulárna. Vzt'ah medzi regulárnymi maticami, riadkovými operáciami a jednotkovou maticou je obsiahnutý v nasledujúcom užitočnom tvrdení: Štvorcová matica typu $n\times n$ je regulárna práve vtedy, keď jej redukovaný Gaussov tvar je ${\bf I}_n$.

Štvorcová matica ${\bf A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ sa nazýva trojuholníková, ak bud' $a_{ij}=0$ pre všetky $i>j$ (v takom prípade hovoríme o hornej trojuholníkovej matici), alebo $a_{ij}=0$ pre všetky $i<j$ (dolná trojuholníková matica).

Pre štvorcové matice sa zavádza mimoriadne dôležitý pojem tzv. inverznej matice. Nech $\bf A,B$ sú štvorcové matice typu $n\times n$. Hovoríme, že $\bf B$ je inverzná matica k matici $\bf A$, ak ${\bf AB}={\bf I}_n$.

Hoci (ako sme už uviedli) násobenie matíc nie je vo všeobecnosti komutatívne, v tomto prípade platí: ak ${\bf AB}={\bf I}_n$, tak aj ${\bf BA}={\bf I}_n$. Dá sa ukázať, že ak matica $\bf B$ s uvedenou vlastnost'ou existuje, tak je už určená jednoznačne.

Pre inverznú maticu používame označenie ${\bf B}={\bf A}^{-1}$. Dá sa dokázat' nasledujúce dôležité tvrdenie: Ku štvorcovej matici $\bf A$ existuje inverzná matica práve vtedy, ked' $\bf A$ je regulárna matica.

Inverzná matica súvisí s operáciami súčinu a transponovania nasledovne. Ak $\bf A$, $\bf B$ sú štvorcové matice rovnakého typu a ak k obom existujú inverzné matice, tak

$$({\bf A}^T)^{-1}=({\bf A}^{-1})^T\ \ ,\ \ \ ({\bf AB})^{-1}={\bf B}^{-1}{\bf A}^{-1}\ .$$

Upozorňujeme, že analogické tvrdenie neplatí pre súčet matíc!