Algebraické operácie s maticami

K základným algebraickým operáciám s maticami patria vynásobenie matice konštantou, súčet matíc, a súčin matíc. Uvedieme tu aj definíciu transponovanej matice a jej vzt'ah k algebraickým operáciám. Násobok matice konštantou. Ak ${\bf A}=[a_{ij}]_{m\times n}$ je matica a $d$ je konštanta, tak $d$-násobok matice $\bf A$ je matica $d{\bf A}=[d.a_{ij}]_{m\times n}$. (Zjednodušene, každý prvok matice sa vynásobí rovnakou konštantou $d$.) Súčet matíc. Súčet matíc je definovaný len pre matice rovnakého typu: Ak ${\bf A}=[a_{ij}]_{m\times n}$ a ${\bf B}=[b_{ij}]_{m\times n}$ sú dve matice typu $m\times n$, ich súčet je matica ${\bf C}={\bf A}+{\bf B}$, ${\bf C}=[c_{ij}]_{m \times n}$, pričom $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. (Jednoducho povedané, pri súčte matíc sa sčítajú prvky na rovnakých miestach). Súčin matíc. Najkomplikovanejšia je definícia súčinu matíc; maticu $\bf A$ možno (sprava) vynásobiť maticou $\bf B$ len vtedy, ak počet stĺpcov matice $\bf A$ sa rovná počtu riadkov matice $\bf B$. Postup je nasledovný: Ak ${\bf A}=[a_{ik}]_{m\times \ell}$ a ${\bf B}=[b_{kj}]_{\ell \times n}$ sú matice typu $m\times \ell$ a $\ell \times n$, ich súčinom je matica ${\bf C}=\bf AB$ typu $m\times n$, ktorej $i,j$-ty prvok vypočítame pomocou vzt'ahu

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{i\ell}b_{\ell j}\ \ .$$

Inak povedané, $[i,j]$-ty prvok matice ${\bf C}=\bf AB$ je skalárnym súčinom $i$-teho riadku matice $\bf A$ s $j$-tym stĺpcom matice $\bf B$.

Pre počítanie s maticami platia analógie pravidiel platných pre algebraické operácie s reálnymi číslami: komutatívny a asociatívny zákon pre sčítanie matíc, distributívny zákon pre násobenie vzhl'adom k sčítaniu, a asociatívny zákon pre násobenie matíc. Násobenie matíc vo všeobecnosti nie je komutatívne.

Nech ${\bf A}=[a_{ij}]$ je matica typu $m\times n$. Maticu ${\bf B}=[b_{ij}]$ typu $n\times m$ nazveme transponovanou k matici $\bf A$, ak $b_{ij}=a_{ji}$ pre $1\le i\le m$, $1\le j\le n$. Vol'ne povedané, riadky pôvodnej matice sa stávajú stĺpcami v transponovanej matici (a naopak). Pre transponovanú maticu používame označenie ${\bf B}={\bf A}^T$. Je zrejmé, že $({\bf A}^T)^T={\bf A}$.

Transponované matice súvisia s algebraickými operáciami nasledovne:

$$(d{\bf A})^T=d({\bf A}^T)\ ,\ \ ({\bf A}+{\bf B})^T={\bf A}^T+{\bf B}^T\ , \ \ ({\bf AB})^T={\bf B}^T{\bf A}^T\ .$$

Príklad 4. Vypočítajme maticu ${\bf D}=({\bf A}{\bf B} -2{\bf C})^T$, ak

$${\bf A}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 0 ... ...left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\ .$$

Riešenie: Ked'že počet stĺpcov matice $\bf A$ sa rovná počtu riadkov matice $\bf B$, má zmysel počítat' ich súčin $\bf AB$ (čo bude matica typu $2\times 2$) a podl'a našej definície platí:

$$\left( \begin{array}{rrr} -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \end{arr... ...1.0+ (-2).1 + 0.(-1) & 1.3+(-2).(-1)+0.2 \end{array}\right) \ ,$$

a teda

$${\bf AB}= \left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ -2 & 5 \end{array}\right) \ .$$

Pre maticový výraz ${\bf AB} -2{\bf C}={\bf AB}+(-2){\bf C}$ tak dostávame:

$$\left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ -2 & 5 \end{array}\right)... ...left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -4 & 5 \end{array}\right)\ .$$

Teraz už stačí len transponovat' poslednú maticu (t.j. vypísat' jej riadky ako stĺpce) a máme hl'adanú maticu $\bf D$:

$${\bf D}=({\bf A}{\bf B}-2{\bf C})^T =\left( \begin{array}{rr} 1 & -4 \\ -2 & 5 \end{array}\right) \ .$$