Pojem a označenia

Derivácia meria zmenu hodnôt závislej veličiny vzhľadom k zmene hodnôt nezávislej veličiny.
Derivácia funkcie $f$ v čísle (v bode) $x_0$ je číslo

$$f'(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$

ak existuje vlastná limita na pravej strane rovnosti.
Na označenie derivácie funkcie $f$ v bode $x_0$ sa používajú tiež symboly

$$y'(x_0),\quad \left(\frac{df}{dx}\right)_{x=x_0},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=x_0}.$$

Ak existuje derivácia funkcie $f$ v každom bode niektorej množiny $M$, tak funkcia $f'$, ktorá priradí každému číslu $x\in M$ hodnotu $f'(x)$ je derivácia funkcie $f$ v množine $M$.
Z existencie derivácie vyplýva spojitosť:

Ak má funkcia $f$ v bode $a$ deriváciu, tak je v bode $a$ spojitá.

Pre väčšinu elementárnych funkcií existuje derivácia v každom bode definičného oboru, preto derivácia elementárnej funkcie je zvyčajne funkcia s tým istým definičným oborom.
Na označenie derivácie funkcie $f$ sa používajú tiež symboly

$$y',\quad \left(\frac{df}{dx}\right),\quad \left(\frac{dy}{dx}\right).$$

Príklad 1. Vypočítajme deriváciu

b )

funkcie $y=x$ v bode $-3$,

c )

funkcie $y=x^2$ v bode $2$,

d )

funkcie $y = \frac{1}{x-4}$ v bode $0$,

e )

funkcie $y = \vert x+1\vert$ v bode $-1$,

f )

funkcie $y = \sqrt[3]{x}$ v bode $0$.

Riešenie:

b )

Podľa definície derivácie funkcie je

$$y'(-3) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(-3+h)-y(-3)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-3 + h - (-3)}{h} = 1$$

c )

Vychádzame z definície:

$$y'(2) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(2+h)-y(2)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(2+h)^2 - 2^2}{h} =$$

$$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}4 + h = 4$$

d )

Analogicky

$$y'(0) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(0+h)-y(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{-4+h} - \frac{1}{-4}}{h} =$$

$$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{4(4-h)}}{h} = -\frac{1}{16}$$

e )

$$\lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{y(-1+h)-y(-1)}{h} = \lim_{h... ...t}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\vert h\vert}{h} = -1,$$

avšak

$$\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{y(-1+h)-y(-1)}{h} = \lim_{h... ...rt}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{\vert h\vert}{h} = 1.$$

Pretože hľadaná limita neexistuje, funkcia $y = \vert x+1\vert$ nemá v bode $-1$ deriváciu.

f )

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{y(h)-y(0)}{h} = \lim_{h \righ... ...h} = \lim_{h \rightarrow 0} \sqrt[3]{\frac{h}{h^3}} = \infty.$$

Pretože hľadaná limita nie je vlastná, funkcia $y = \sqrt[3]{x}$ nemá v bode $0$ deriváciu.

$\clubsuit$

Príklad 2. Vypočítajme deriváciu

b )

funkcie $y = x^n$, kde $n \in {\bf N}$, v ľubovoľnom bode $x$,

c )

funkcie $y = \sin\,x$ v ľubovoľnom bode $x$,

d )

funkcie $y = \log_a\,x$ v ľubovoľnom bode $x$.

Riešenie:

e )

Podľa definície derivácie funkcie a s použítím binomickej vety dostávame

$$y'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h} =$$

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^n + \left(\!\! \begin{array}{... ... \\ n-1 \end{array} \!\! \right) x h^{n-1} + h^n - x^n}{h} =$$

$$\lim_{h \rightarrow 0} n x^{n-1} + \left(\!\! \begin{array}... ...-1 \end{array} \!\! \right) x h^{n-2} + h^{n-1} = n x^{n-1}.$$

b )

Z definície derivácie, použitím goniometrických vzťahov a poznatkov o limitách z predchádzajúcej kapitoly dostávame.

$$y'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin(x+h)-\sin\ x}{h} = ... ...tarrow 0} \frac{2 \cos(x + \frac{h}{2})\sin(\frac{h}{2})}{h} =$$

$$\lim_{h \rightarrow 0} \cos(x + \frac{h}{2}) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = \cos\ x.$$

c )

Analogicky, s použitím vzťahov pre logaritmy

$$y'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a(x+h)-\log_a\,x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a\frac{(x+h)}{x}}{h} =$$

$$=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_a\left( 1 + \frac{1}{\fr... ...row 0}\left( 1 + \frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} =$$

$$=\frac{1}{x}\log_a\,e = \frac{1}{x\ln\,a}.$$

$\clubsuit$

Počítanie derivácie funkcie z definície je značne obtiažne a zdĺhavé. Na zjednodušenie práce s deriváciami slúži nasledujúca schéma.

1. Z definície derivácie sa odvodia derivácie mocninovej funkcie s prirodzeným exponentom, funkcie sinus a logaritmickej funkcie (pozri Príklad 2)
2. Odvodia sa pravidlá derivovania pre operácie s funkciami.
3. Pomocou už známych derivácií a pravidiel sa určia derivácie ostatných elementárnych funkcií.