Nerovnice

Pre prácu s nerovnosťami a nerovnicami platia tieto základné vlastnosti:

1. Ak $a<b$ a $b<c$, potom $a<c$ (tranzitívnosť).
2. Ak $a<b$ a $c$ je ľubovoľné, potom $a+c < b+c$.
3. Ak $a<b$ a $c<d$, potom $a+c<b+d$.
4. Ak $a<b$ a $m>0$, potom $am<bm$; ak $a<b$ a $m<0$, potom $am>bm$.
5. Ak $a<b$ a $c<d$ , kde $a,b,c,d$ sú kladné čísla, potom $ac<bd$.
6. Ak $0<ab$ , potom je $0<a, 0<b$, alebo $a<0, b<0$.
7. Ak $ab<0$ , potom je $0<a, b<0$, alebo $a<0, 0<b$.
8. Ak $0<b$, $\ -b <a<b$, potom je $a^2 <b^2$. Ak $0<b, a^2<b^2$, je $\ -b <a<b$.
9. Ak je $0<a$ a $a^2 <b^2$, potom platí: alebo $0<a<b$ alebo $b<-a <0$.

Tieto vlastnosti ostanú v platnosti aj keď znak $<$ nahradíme znakom $\leq$.
Lineárna nerovnica s jednou neznámou $x$ má tvar:

$$a x + b\ N \ 0,$$ (1.3)

kde $a \neq 0, b$ sú reálne čísla a $N$ je niektorý zo znakov $<,>, \leq, \geq, \neq$.
Kvadratická nerovnica s jednou neznámou je nerovnica tvaru:

$$a x^2 + bx +c\ N\ 0$$ (1.4)

kde $a\neq 0$ a $N$ je opäť niektorý zo znakov $<,>, \leq, \geq, \neq$.
Riešením nerovnice (1.3) alebo (1.4) nazývame množinu všetkých čísel, ktoré keď dosadíme do nerovnice namiesto neznámej $x$ dostaneme pravdivú nerovnosť medzi číslami.
Systém lineárnych nerovníc s jednou neznámou má tvar

$$a_1 x+b_1 \ N \ 0$$

$$a_2 x+b_2 \ N \ 0$$

$$\vdots$$ (1.5)

$$a_n x +b_n \ N \ 0,$$

kde $a_1, a_2, \dots, a_n$ sú rôzne od nuly.
Nech riešenia jednotlivých nerovníc systému (1.5) sú $M_1, M_2, \dots, M_n$. Potom riešenie systému (1.5) je $M = M_1 \cap M_2 \cap \dots \cap M_n$.
Ekvivalentnými nerovnicami nazývame také nerovnice, ktorých množiny riešení sú rovnaké množiny. Úpravy, pomocou ktorých z danej nerovnice dostaneme ekvivalentnú, nazývame ekvivalentnými úpravami.
Pri riešení nerovníc používame vlastnosti 1.-9. a to tak, že z danej nerovnice dostávame ekvivalentné nerovnice, ktoré už vieme riešiť.
Kvadratickú nerovnicu (1.4) možno riešiť úpravou na tvar

$$( x+\frac{b}{2a})^2 \ N \ \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$ (1.6)

Pri riešení tejto nerovnice môžu nastať tieto tri prípady:

1. $D=b^2-4ac >0$, nerovnicu (1.6) môžeme riešiť napríklad úpravou na tvar
   
   $$a(x-\alpha)(x-\beta) \ N \ 0,$$
   
   
   kde $\alpha, \beta$ sú korene rovnice $ax^2 +bx+c =0$. Nerovnicu riešime ďalej podľa vlastností 5. a 6.
2. $D=b^2-4ac=0$. Potom nerovnica (1.6) nemá riešenie, ak $N$ značí $<$; nerovnica (1.6) má riešenie $(- \infty , \infty )$ , ak $N$ značí $\geq$; nerovnica (1.6) má riešenie $x=-\frac{b}{2a}$, ak $N$ značí $\leq$; nerovnica (1.6) má riešenie všetky reálne čísla okrem čísla $-\frac{b}{2a}$, ak $N$ značí $\neq$ alebo $>$.
3. $D=b^2 -4ac <0$. Potom nerovnica (1.6) nemá riešenie, ak $N$ značí $<$ alebo $\leq$; nerovnica (1.6) má riešenie $(- \infty , \infty )$ , ak $N$ značí $>, \geq$ alebo $\neq$.

Príklad 15. Riešme nerovnicu:

$$\frac{3-x}{5} < \frac{2x-8}{3} -\frac{3x-1}{2}$$

Riešenie: Podľa vlastnosti 4. dostaneme po vynásobení oboch strán nerovnice číslom $30$ ekvivalentnú nerovnicu:

$$18-6x < 20x-80 -45x +15,$$

odkiaľ

$$18-6x < -25x -65.$$

K obom stranám nerovnice pripočítame výraz $25x-18$ a podľa vlastnosti 2. dostaneme

$$19x < -83.$$

Vynásobením tejto nerovnice číslom $\frac{1}{19}$ dostaneme

$$x< -\frac{83}{19} .$$

Riešením tejto nerovnice sú čísla z intervalu $(-\infty , -\frac{83}{19} )$. Pri riešení sme robili len ekvivalentné úpravy, preto nájdené riešenie je aj riešením pôvodnej nerovnice. $\clubsuit$

Príklad 16. Riešme nerovnicu:

$$x^2-5x+6 <0.$$

Riešenie: Pretože $D=(-5)^2 -4 \cdot 6 =1 >0$, danú nerovnicu riešime tak, že trojčlen $x^2-5x+6$ rozložíme na súčin koreňových činiteľov. Korene kvadratickej rovnice $x^2-5x+6=0$ sú čísla $2$ a $3$. Preto platí $x^2-5x+6= (x-3)(x-2)$. Dostávame

$$(x-3)(x-2) <0.$$

Táto nerovnica je podľa vlastnosti 7. ekvivalentná s jedným z nasledujúcich dvoch systémov

$$x-3 >0, \ \ x-2 <0$$ (1.7)

$$\hbox{ alebo }$$

$$x-3<0, \ \ x-2 >0$$ (1.8)

Riešením systému (1.7) je prienik $(-\infty,2) \cap ( 3,\infty) = \emptyset$. Riešením systému (1.8) je prienik $(-\infty,3) \cap (2,\infty ) = (2,3)$. Riešením pôvodnej nerovnice preto je $\emptyset \cup (2,3)= (2,3)$. $\clubsuit$