Chyby aritmetických operácií.

Budeme predpokladať, že vykonávame presné aritmetické operácie s nepresnými číslami, teda s aproximáciami. Ďalej budeme predpokladať, že poznáme chyby, resp. odhady chýb týchto aproximácií. Budeme vyšetrovať, s akou presnosťou sa dá stanoviť výsledok, teda aká je jeho chyba, resp. jej odhad.
Nech

$$x_i =\bar x_i +\Delta x_i, \ \ \vert\Delta x_i\vert \leq \var... ...t \frac{ \Delta x_i}{x_i}\right\vert \leq \delta _i, \ \ i=1,2,$$

kde $\varepsilon _i$ resp. $\delta _i$ je odhad absolútnej, resp. relatívnej aproximácie $\bar x_i$.

• Ak je $\bar u = \bar x_1 + \bar x_2$ aproximácia súčtu $u=x_1+x_2$, potom
  
  $$u=\bar x_1+\Delta x_1+\bar x_2+\Delta x_2 = \bar u +\Delta u,$$
  
  
  kde
  
  $$\Delta u = \Delta x_1 + \Delta x_2,$$
  
  
  a platí
  
  $$\vert\Delta u \vert \leq \vert\Delta x_1\vert + \vert\Delta x_2\vert \leq \varepsilon _1 + \varepsilon _2.$$
  
  

• Ak je $\bar v = \bar x_1 - \bar x_2$ aproximácia rozdielu $v=x_1-x_2$, potom
  
  $$\Delta v = \Delta x_1 - \Delta x_2,$$
  
  
  a platí
  
  $$\vert\Delta v \vert \leq \vert\Delta x_1\vert + \vert\Delta x_2\vert \leq \varepsilon _1 + \varepsilon _2.$$
  
  

• Ak je $\bar w = \bar x_1 \bar x_2$ aproximácia súčinu $w=x_1 x_2$, potom
  
  $$w=\bar x_1 \bar x_2 +\bar x_1\Delta x_2+\bar x_2\Delta x_1+ \Delta x_1 \Delta x_2 = \bar w +\Delta w,$$
  
  
  položíme
  
  $$\Delta w \approx \bar x_1\Delta x_2 + \bar x_2 \Delta x_1,$$
  
  
  (člen $\Delta x_1 \Delta x_2$ neuvažujeme), potom platí
  
  $$\vert\Delta w \vert \leq \vert\bar x_1\vert\varepsilon _1 + \vert\bar x_2\vert \varepsilon _2.$$
  
  

• Ak je $\bar z = \bar x_1 / \bar x_2$ aproximácia podielu $z=x_1/ x_2$, potom
  
  $$z=\frac{\bar x_1+\Delta x_1}{ \bar x_2+\Delta x_2} = \bar z +\Delta z,$$
  
  
  kde
  
  $$\Delta z=\frac{\bar x_2\Delta x_1 - \bar x_1 \Delta x_2} {\ba... ...x \frac{\bar x_2\Delta x_1 - \bar x_1 \Delta x_2} {\bar x_2^2},$$
  
  
  a platí
  
  $$\vert\Delta z \vert \leq \frac{\vert\bar x_2\vert\varepsilon _1 + \vert\bar x_1\vert \varepsilon _2}{\vert\bar x_2\vert^2}.$$
  
  

Pre relatívne chyby môžeme z vyššie uvedených vzťahov odvodiť

• 
  
  $$\frac{\Delta u}{u} \approx \frac{\bar x_1}{ \bar x_1+ \bar x_... ... +\frac{\bar x_2}{ \bar x_1+ \bar x_2} \frac{\Delta x_2}{ x_2},$$
  
  
  
  
  $$\vert \frac{ \Delta u}{u} \vert \leq \frac{1}{ \vert \bar x_1... ... ( \vert\bar x_1\vert \delta _1 +\vert\bar x_2\vert \delta_2).$$
  
  

• 
  
  $$\frac{\Delta v}{v} \approx \frac{\bar x_1}{ \bar x_1- \bar x_... ... -\frac{\bar x_2}{ \bar x_1- \bar x_2} \frac{\Delta x_2}{ x_2},$$
  
  
  
  
  $$\vert\frac{\Delta v}{v}\vert \leq \frac{1}{ \vert\bar x_1-\ba... ... ( \vert\bar x_1\vert \delta _1 +\vert\bar x_2\vert \delta_2).$$
  
  
  Upozorňujeme tu na fakt, že pri odčítaní blízkych čísel má na veľkosť relatívnej chyby rozdielu rozhodujúci význam číslo $\frac{1}{\bar x_1-\bar x_2}$.
• 
  
  $$\frac{ \Delta w}{w} \approx \frac{\bar x_1 \Delta x_2+ \bar ... ..._2}= \frac{\Delta x_2}{\bar x_2}+ \frac{\Delta x_1}{ \bar x_1},$$
  
  
  
  
  $$\vert \frac{\Delta w}{w} \vert \leq \delta _1 + \delta_2.$$
  
  

• 
  
  $$\frac{\Delta z}{z} \approx \frac{\Delta x_1} { \bar x_1}- \frac{\Delta x_2}{\bar x_2},$$
  
  
  
  
  $$\vert\frac{\Delta z}{z}\vert \leq \delta _1 + \delta_2.$$
  
  

Nech je $x$ reálne číslo, ktoré má nekonečné dekadické vyjadrenie. Hovoríme, že číslo $x^{(d)}$, ktoré má $d$ desatinných miest, je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla $x$, ak je zaokrúhľovacia chyba $\varepsilon$ taká, že

$$\vert \varepsilon \vert = \vert x - x^{(d)} \vert \leq \frac{1}{2} . 10^{-d}$$

Príklad 9. Nech $x= 6,7439966 \dots,$ potom je $x^{(3)} =6,744$ a $x^{(7)} = 6,7439967$. $\clubsuit$

Ak je $\bar x$ ľubovoľná aproximácie presnej hodnoty $x$, potom hovoríme, že k-te desatinné číslo je platné, ak platí:

$$\vert x- \bar x\vert \leq \frac{1}{2} . 10^{-k}.$$

Pri správne zaokrúhlenom čísle je teda každé miesto platné.

Príklad 10. Nech je číslo $0,1492$ správne na štyri desatinné čísla. Inými slovami, to znamená, že ide o aproximáciu skutočnej hodnoty, ktorá leží niekde v intervale medzi $0,14915$ a $0,14925$. V takomto prípade aproximácia má štyri platné číslice. Podobne číslo $14,92$ má dve platné desatinné miesta a štyri platné číslice, za predpokladu, že jeho chyba neprevýši $0,005$. $\clubsuit$

Príklad 11. Ak je $x = \pi, \bar x = 0,31415 .10^1$, potom

$$\vert\frac{x-\bar x}{x}\vert \leq 3.10^{-5} \leq 0,5. 10^{-4},$$

$$\vert x-\bar x\vert \leq 10^{-4} \leq 0,5. 10^{-3}.$$

V tomto prípade má $\bar x$ len štyri platné číslice a aproximácia $3,1415$ má tri platné desatinné miesta. $\clubsuit$

Ak je počet platných číslic $n>1$, potom za limitnú relatívnu chybu aproximácie $\bar x$ s prvou platnou cifrou $k$ možno vziať číslo

$$\delta = \frac{1}{2k} (\frac{1}{10})^{n-1}.$$

Ak pre odhad relatívnej chyby $\delta$ platí

$$\delta \leq \frac{1}{2(k+1)} (\frac{1}{10})^{n-1},$$

potom číslo $\bar x$ má $n$ platných číslic. Na uvedenom príklade vidíme súvislosť medzi počtom platných číslic a relatívnou chybou aproximácie: zväčšovanie chyby sa prejaví stratou platných číslic a obrátene. Preto sa vo výpočtoch vyhýbame rozdielom blízkych čísel, pri ktorých práve ku tejto strate platných čísel dochádza.

Príklad 12. Koľko platných číslic má číslo $A= 3,7563$ ak relatívna chyba je $1\%$?

Riešenie: Prvá platná číslica je $3$ a keďže relatívna chyba je $0,01$, potom platí

$$0,01 \leq \frac{1}{2 . 4 } ( \frac{1}{10})^{n-1},$$

odkiaľ $n=2.$ Preto číslo $A$ má dve platné číslice. $A$ môžeme zapísať v tvare $A = 3,8$. $\clubsuit$

Príklad 13. Nech

$$x_1 = 0,5010278, \ \ \bar x_1 = 0,5010,$$

$$x_2 = 0,5007812, \ \ \bar x_2 = 0,5008,$$

potom

$$\vert \Delta x_1\vert = 0,278.10^{-4} \leq 0,5 . 10^{-4},$$

$$\vert\frac{\Delta x_1}{x_1}\vert \leq 0,5 .10^{-3},$$

$$\vert \Delta x_2\vert = 0,188.10^{-4} \leq 0,5 . 10^{-4},$$

$$\vert\frac{\Delta x_2}{x_2}\vert \leq 0,5 .10^{-4}.$$

Vypočítame rozdiel uvedených čísel:

$$v =x_1-x_2 =0,2466.10^{-3},\ \bar v = \bar x_1 -\bar x_2 = 0,2 . 10^{-3},$$

$$\vert\Delta v \vert \leq 0,5 . 10^{-4}.$$

$$\vert\frac{\Delta v}{v} \vert \leq 1,9 .10^{-1}.$$

Výstupná relatívna chyba je teda v porovnaní s relatívnymi chybami vstupných údajov omnoho väčšia. $\clubsuit$

Príklad 14. Je daná kvadratická rovnica

$$x^2 -56 x +1 =0$$

s koreňmi $x_1=28+\sqrt{783}$ a $x_2 = 28-\sqrt{783}$. Ak vypočítame $\sqrt{783}$ na päť platných číslic (t.j. s chybou menšou ako $0,5 . 10^{-3}\ \ \sqrt{783} = 27,982)$, máme: $\ x_1= 55,982, \ x_2 = 0,018.$ Absolútna chyba koreňov nie je väčšia ako $0,0005$. Ale pre relatívnu chybu platí:

$$\vert\frac{\Delta x_1}{x_1} \vert \leq 0,5 . 10^{-5}; \ \ \vert\frac{\Delta x_2}{x_2}\vert \leq 0,8 . 10^{-2}.$$

Koreň $x_1$ je určený na päť platných číslic a koreň $x_2$ len na dve platné číslice. Ak chceme aj druhý koreň vypočítať presnejšie, máme dve možnosti:

• vypočítať $\sqrt{783}$ na desať platných číslic, čo je náročnejšie na pamäť počítača aj na čas.
• Koreň $x_2$ vypočítať iným algoritmom, čo predpokladá, že taký algoritmus poznáme; napríklad z vlastnosti koreňov pre túto rovnicu

  totiž platí:

  $x_1 \cdot x_2 =1$. Preto:
  

  $$x_2 =\frac{1}{x_1} =\frac{1}{55,982}=0,01786288.$$
  
  

$\clubsuit$