Výsledky cvičení.

1. $2\vec{a}+3\vec{b} = [-5,-4,15]$,         $-4\vec{a}=[16,-4,-12]$,
$\frac34\vec{a}+\frac{-2}{3}\vec{b}=[-\frac{11}{3},\frac{25}{12}, \frac14]$,         $\frac{\vec{a}}{\vert\vert\vec{a}\vert\vert}=[-\frac{4}{\sqrt{26}}, \frac{1}{\sqrt{26}},\frac{3}{\sqrt{26}}]$.

2. $\vec{B}-\vec{A} = [6,-4,-3]$,         $3(\vec{C}-\vec{A}) = [6,3,-12]$,
$(\vec{B}-\vec{C})+(\vec{B}-\vec{A}) = [10,-9,-2]$,         $3(\vec{A}-\vec{C})-2(\vec{B}-\vec{C}) = [-14,7,10]$.

3. a) $0.\vec{a}+0.\vec{b}$         b) nedá sa vyjadriť         c) $-2\vec{b}$.

4. $[\frac45,\frac35]$ a $[-\frac45,-\frac35]$.

5. $[-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}]$ a $[\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}]$.

6. a) $55,3^\circ$         b) $90^\circ$         c) $108^\circ$.

7. a) $a=3\sqrt{2}$, $b=5$, $c=\sqrt{73}$, $\alpha=20,6^\circ$, $\beta=24,4^\circ$, $\gamma=135^\circ$,
b) $a=\sqrt{21}$, $b=\sqrt{17}$, $c=\sqrt{38}$, $\alpha=48^\circ$, $\beta=42^\circ$, $\gamma=90^\circ$.

8. a) $7,5$         b) $\frac{\sqrt{357}}{2}$.

9. $V=80$     a      $S=2(\sqrt{632}+\sqrt{782}+16\sqrt{3})$.

10. a) $7x-3y-19=0$,      $y=\frac73 x - \frac{19}{3}$,      $[x,y] = [1+3t,-4+7t]$,
b) $3x-y+9=0$,     $y=3x + 9$,      $[x,y] = [-3+t,3t]$,
c) $2x-y-8=0$,     $y= 2x - 8$,      $[x,y] = [3+t,-2+2t]$.

11. a) $[-\frac{15}{13},\frac{16}{13}]$,         b) $\emptyset$,         c) $u \subset p$.

12. $T=[\frac23,\frac43]$,          $V=[-\frac{31}{25},\frac{89}{25}]$.

13. $k:\ \left(x-\frac{81}{50}\right)^2 + \left(y-\frac{11}{50}\right)^2 = \frac{18241}{1250}$.

14. a) kružnica, $S=[0,2]$,        b) elipsa, $S=[1,-\frac32]$,
c) hyperbola, $S=[-2,0]$,         d) parabola, $V=[\frac18,-\frac12]$,
e) prázdna množina.

15. a) $P$ leží vo vnútri elipsy,         b) $P$ leží zvonku elipsy,
c) $P$ leží na elipse.

16. a) $[5,-3+2\sqrt{7}]$ a $[5,-3-2\sqrt{7}]$,         b) $[0,-3+\sqrt{18}]$ a $[0,-3-\sqrt{18}]$,
c) $x_0 \subset {\bf R}$,         d) $y_0 \subset (-\infty,-3-\sqrt{10}) \cup (-3+\sqrt{10},\infty)$.

17. a) $[0,0]$,         b) $\emptyset$,          c) $[\frac{-16+2\sqrt{22}}{7},\frac{-8+\sqrt{22}}{7}]$ a $[\frac{-16-2\sqrt{22}}{7},\frac{-8-\sqrt{22}}{7}]$.

18. a) $3x-4y-14=0$,         b) $x+4y-2=0$,          c) $\sqrt{5}x+2y+1=0$.

19. a) $k \in \langle-\sqrt{\frac{5}{11}},\sqrt{\frac{5}{11}}\rangle$,          b) $k \in \langle-\frac{1}{16},\infty)$,
c) $k \in (-\infty,-\sqrt{\frac{1}{17}}\rangle \cup \langle\sqrt{\frac{1}{17}},\infty)$.

20. Žiaden, jeden alebo dva.

21. a) $x+7y-3z-6=0$,         b) $x-y+3z=0$,
c) $5x-4y+6z-19=0$,     d) $x+2z-3=0$.

22. a) $[x,y,z]=[-1+3t,4-4t,1+2t]$,
b) $[x,y,z]=[3-2t,-2+3t,1]$,
c) $[x,y,z]=[1+3t,1-2t,1+5t]$,
d) $[x,y,z]=[2t,0,-7t]$.

23. a) $(x+2)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=21$,
b) $(x+4)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$,
c) $(x-1-2\sqrt{2})^2+(y+2\sqrt{2})^2+(z+1-2\sqrt{2})^2=16$.

24. a) Priamky sú rovnobežné,         b) priamky sú mimobežné,
c) priamky sú rôznobežné, pretínajú sa v bode $[4,-4,3]$,
d) priamky sú totožné.

25. $[x,y,z]=[-3+t,1+2t,5t]$, $t\geq -\frac14$.

26. a) Roviny sú zhodné,         b) roviny sú rovnobežné,
c) roviny sú rôznobežné, pretínajú sa v priamke $[x,y,z]=[0,1+t,5+2t]$.

27. a) Priamka je s rovinou rôznobežná, prienik je bod $[\frac54,-\frac34,\frac12]$,
b) priamka je s rovinou rovnobežná,         c) priamka leží v rovine.

28. $[x,y,z]=[-6-4t,1+t,8+7t],\ t \in \langle -2,-1 \rangle$.

29. a) $2x+2y-z-10=0$,
b) $x-2y+2z+20=0$ a $x-2y+2z-16=0$,
c) $2x+y-2z+29=0$ a $2x+y-2z-7=0$.

30. a) $29,8^\circ$,         b) $0^\circ$,         c) $45^\circ$.

31. Odchýľky od osí $o_x,\ o_y,\ o_z$ sú postupne $60^\circ,\ 90^\circ,\ 30^\circ$.
Odchýľky od rovín $\varrho_{x,y},\varrho_{x,z},\varrho_{y,z}$ sú postupne $60^\circ,\ 0^\circ,\ 30^\circ$.

32. a) $d = \frac{5\sqrt{35}}{7}$,          b) $d = \frac{7\sqrt{6}}{6}$,         c) $d = 0$,
d) $d = \sqrt{13}$,         e) $d = \sqrt{6}$.

33. $[x,y,z]=[-t,-1+5t,1+t]$.

35. $S = \frac{153 \pi}{21}$.