Derivácia a algebrické operácie

Ak nová funkcia vznikne pomocou algebrických operácií z funkcií $f$ a $g$, tak jej deriváciu môžeme počítať podľa nasledujúcich pravidiel:
Nech funkcie $f$ a $g$ majú derivácie v množine $M$. Potom platí

$$(f+g)' = f' + g'$$ (7.1)

$$(f-g)' = f' - g'$$ (7.2)

$$(f.g)' = f'.g + f.g'$$ (7.3)

$$(\frac{f}{g})' = \frac{f'.g - f.g'}{g^2},$$ (7.4)

pričom posledný vzťah platí v číslach $x$, kde $g(x) \neq 0$.

Príklad 4. Nájdeme derivácie funkcií $y = 2x^5 - 7\sqrt[3]{x^4} + \frac{3}{\sqrt{x}} - 9$,
$y = \sin x.\cos x$ a $y = \frac{5x+3}{x^2-2x}$.

Riešenie: Pri riešení príkladu budeme používať pravidlá pre algebraické operácie. Odporúčame čitateľovi podrobnú identifikáciu pravidla použitého pri každej úprave.

b )

$y' = (2x^5)' - (7\sqrt[3]{x^4})' + (\frac{3}{\sqrt{x}})' - (9)' = 2(x^5)' - 7(x... ...c12) x^{-\frac32} - 0 = 10x^4 - \frac{28}{3}\sqrt[3]{x} - \frac{3}{2\sqrt{x^3}}$.

c )

$y' = (\sin x.\cos x)' = (\sin x)'.\cos x + \sin x.(\cos x)' = \cos^2\ x - \sin^2\ x$.

d )

$y' = \frac{(5x+3)'.(x^2-2x) - (5x+3)(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2} = \frac{5(x^2-2x) - (5x+3)(2x-2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{-5x^2 - 6x + 6}{(x^2-2x)^2}$.

$\clubsuit$